Задание 407 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: окр. (О).

Доказать: любая прямая, проходящая через центр окружности, является её осью симметрии.

Доказательство:

Произвольно проведем прямую через центр окружности, которая пересечет окружность в точках А и В. Произвольно отметим на окружности точку С и опустим из нее перпендикуляр к прямой АВ, который пересечет окружность в точке D.

ОС = ОD - радиусы, KОD - равнобедренный с основанием KD, при этом ОК - его высота, ОК - его медиана, АВ - серединный перпендикуляр к отрезку KD, точки K и D симметричны относительно прямой АВ. Точка С выбрана произвольно, любая точки окружности симметрична какой-нибудь другой точке окружности, АВ - ось симметрии данной окружности. Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Фигура называется симметричной относительно прямой , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой также принадлежит этой фигуре. Прямая  называется осью симметрии фигуры.

Рассмотрим СОD. В нем стороны ОС и ОD - радиусы окружности, значит, ОС = ОD, значит, СОD - равнобедренный с основанием CD. При этом ОК - высота СОD, т.к. по построению СD АВ. В равнобедренном треугольнике высота и медиана. проведенные к основанию совпадают, значит, ОК - еще и медиана СОD, тогда СК = DK.

Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему.

 Мы получили то, что СD АВ и СК = DK, значит, АВ - серединный перпендикуляр к отрезку KD, следовательно, точки K и D симметричны относительно прямой АВ. Точка С выбрана нами произвольно, тогда любая точки окружности симметрична какой-нибудь другой точке окружности, значит, АВ - ось симметрии данной окружности. Что и требовалось доказать.