Упражнение 19 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 9

а) \(\frac{4}{a^2+5}\)

Если \(a=0\), то \(a^2 + 5\) принимает наименьшее значение \(0^2 + 5 = 5\), тогда дробь \(\frac{4}{a^2+5}=\frac{4}{5}\) принимает наибольшее значение \(\frac{4}{5}\).

Ответ: при \(a=0\).

б) \(\frac{10}{(a-3)^2+1}\)

Если \(a = 3\), то \((a-3)^2+1\)  принимает наименьшее значение

\((3-3)^2 + 1=1\), тогда дробь \(\frac{10}{(a-3)^2+1}\) принимает наибольшее значение \(\frac{10}{0+1}=10.\)

Ответ: при \(a=3\).

Пояснения:

1. Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем знаменателе.

2. Квадрат любого числа неотрицателен: \(t^2\ge0\). Поэтому выражения вида \(a^2+5\) и \((a-3)^2+1\) всегда \(\ge0\) соответствующих постоянных слагаемых 5 и 1.

3. Знаменатель \(a^2+5\) принимает наименьшее значение при \(a^2=0\), а \((a-3)^2+1\) — при \((a-3)^2=0\), то есть при \(a=3\).

4. Подстановка найденных значений даёт наибольшие значения дробей: \(\frac{4}{5}\) и \(10\) соответственно.

а) \(\frac{b^2+7}{21}\)

Если \(b= 0\), то \(b^2+7\) принимает наименьшее значение \(0^2 + 7 = 7\), тогда дробь \(\frac{b^2+7}{21}\) принимает наименьшее значение \(\frac{7}{21} = \frac{1}{3} \)

Ответ: при \(b=0\).

б) \(\frac{(b-2)^2+16}{8}\)

Если \(b = 2\), то \((b-2)^2+16\) принимает наименьшее значение

\((2 - 2)^2 + 16 = 16\), тогда дробь \(\frac{(b-2)^2+16}{8}\) принимает наименьшее значение \(\frac{16}{8} = 2\).

Ответ: при \(b=2\).

Пояснения:

Дробь принимает наименьшее значение при наименьшем числителе.

Квадратичные функции \(b^2\) и \((b-2)^2\) неотрицательны и принимают наименьшее значение 0 соответственно при \(b=0\) и \(b=2\). После прибавления чисел (7 или 16) числитель будет наименьшим, что и даёт наименьшие значения дробей.