Упражнение 820 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Пусть скорость катера в стоячей воде равна \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\(\frac{6x - 28}{x + 2} + \frac{6x - 28}{x - 2} = 9\) \(/\times(x+2)(x-2)\)

ОДЗ: \(x+2 \neq0\)   и   \(x - 2\neq 0\)

         \(x\neq-2\)            \(x\neq2\)

\((6x - 28)(x-2) + (6x-28)(x+2) = 9(x+2)(x - 2)\)

\(6x^2 -\cancel{12x} - 28x + \cancel{56} + 6x^2+\cancel{12x}-28x - \cancel{56}=9(x^2 - 4)\)

\(12x^2 - 56x = 9x^2 - 36\)

\(12x^2 - 56x - 9x^2 + 36 = 0\)

\(3x^2 - 56x + 36 = 0\)

\(a = 3\),  \(b = -56\),  \(c = 36\).

\(D = b^2 -4ac = (-56)^2 -4\cdot3\cdot36=\)

\(=3136-432 =2704\),   \(\sqrt D = 52\).

\(x_1 = \frac{-(-56)+ 52}{2\cdot3} = \frac{108}{6} = 18\).

\(x_2 = \frac{-(-56)- 52}{2\cdot3} = \frac{4}{6} = \frac23\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость катера в стоячей воде равна \(18\) км/ч.

Пояснения:

В задаче использовались формулы:

- Формула пути: \[S = v \cdot t\]

- Формула времени: \[t = \frac{S}{v}\]

Скорость катера в стоячей воде обозначили \(x\) км/ч. Тогда скорость по течению: \(x + 2\), скорость против течения: \(x - 2\).

По условию: расстояние \(MN\) катер проходит за 6 ч по течению:

\(MN = 6(x + 2)\).

По условию задачи катер не дошел до \(N\) \(40\) км, значит, катер прошёл вниз по течению:

\( 6(x + 2) - 40 =\)

\(=6x + 12 - 40 = 6x - 28\).

Затем вернулся против течения, то есть прошел такое же расстояние:

\( 6x - 28\).

По условию на весь путь катер затратил \(9\) ч. Получается, можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{6x - 28}{x + 2} + \frac{6x - 28}{x - 2} = 9\).

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили квадратное уравнение, у которого дискриминант \(D = b^2 - 4ac>0\), поэтому уравнение имеет два корня: \(18\) и \(\frac23\). Корень, равный \(\frac23\), не удовлетворяет условию задачи, так как в таком случае скорость катера в стоячей воде будет меньше скорости течения, чего не может быть.

Таким образом, катер в стоячей воде движется со скоростью 18 км/ч.

\(\dfrac{a}{54} \in \left[\dfrac{1}{9}; \dfrac{1}{6}\right]\)

\(\dfrac{1}{9} = \dfrac{6}{54}\), \(\quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{54}\).

\(\dfrac{a}{54} \in \left[\dfrac{6}{54}; \dfrac{9}{54}\right]\).

\(a = 6, 7, 8, 9\).

Ответ: \(\dfrac{6}{54}, \dfrac{7}{54}, \dfrac{8}{54}, \dfrac{9}{54}\).

Пояснения:

Для того чтобы дробь \(\dfrac{a}{54}\) принадлежала заданному промежутку, нужно, чтобы её числитель \(a\) попадал в границы, приведенные к знаменателю 54.

Промежуток \(\left[\dfrac{1}{9}; \dfrac{1}{6}\right]\) равен \(\left[\dfrac{6}{54}; \dfrac{9}{54}\right]\).

Значит, \(\dfrac{a}{54}\) входит в этот промежуток тогда и только тогда, когда \(6 \leq a \leq 9\).

Подставляем возможные значения: \(\dfrac{6}{54}, \dfrac{7}{54}, \dfrac{8}{54}, \dfrac{9}{54}\).