Упражнение 904 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 202
Старая и новая редакции
Вернуться к содержанию учебника
Вопрос
Выберите год учебника
№904 учебника 2023-2025 (стр. 202):
Проиллюстрируйте с помощью кругов Эйлера соотношение между множеством \(N\) натуральных чисел, множеством \(Z\) целых чисел, множеством \(Q\) рациональных чисел. Найдите пересечение и объединение:
а) множества натуральных и множества целых чисел;
б) множества целых и множества рациональных чисел;
в) множества рациональных и множества иррациональных чисел.
№904 учебника 2013-2022 (стр. 202):
Велосипедист проехал \(20\) км по дороге, ведущей в гору, и \(60\) км по ровной местности, затратив на весь путь \(6\) ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке пути, если известно, что в гору он ехал со скоростью, на \(5\) км/ч меньшей, чем по ровной местности?
Подсказка
№904 учебника 2023-2025 (стр. 202):
Вспомните:
№904 учебника 2013-2022 (стр. 202):
Вспомните:
- Задачи на движение.
- Решение дробных рациональных уравнений.
- Рациональные дроби.
- Основное свойство рациональной дроби.
- Распределительное свойство умножения.
- Свойства уравнений.
- Решение полных квадратных уравнений (дискриминант).
- Деление и дроби.
- Степень с натуральным показателем.
- Арифметический квадратный корень.
- Подобные слагаемые.
- Решение неравенств с одной переменной.
- Противоположные числа.
- Неправильные дроби.
- Смешанные числа.
- Сложение рациональных чисел.
- Вычитание рациональных чисел.
Ответ
№904 учебника 2023-2025 (стр. 202):
а) \(N \cap Z = N\)
\(N \cup Z = Z\)
б) \(Z \cap Q = Z\)
\(Z \cup Q = Q\)
в) \(I\) - множество иррациональных чисел.
\(Q \cap I = \varnothing\)
\(Q \cup I = R\),
\(R\) - множество действительных чисел.
Пояснения:
Пересечение множеств (\(\cap\)) — элементы, которые встречаются и в одном, и в другом множестве. Объединение множеств (\(\cup\)) — все элементы, которые встречаются хотя бы в одном из множеств.
\(\varnothing\) - пустое множество, то есть пересечений нет.
№904 учебника 2013-2022 (стр. 202):
На весь путь - \(6\) ч.
Составим равнение:
\( \frac{20}{x-5}+\frac{60}{x}=6 \) \(/\times x(x-5)\)
ОДЗ: \(x - 5 > 0\)
\(x > 5\)
\( 20x+60(x-5)=6x(x-5)\)
\(20x + 60x - 300 = 6x^2 -30x\)
\(80x-300=6x^2-30x \)
\(6x^2 - 30x - 80 x + 300 = 0\)
\(6x^2-110x+300=0 \) \(/ : 2\)
\( 3x^2-55x+150=0\)
\(a = 3\), \(b = -55\), \(c = 150\)
\(D = b^2 - 4ac=\)
\( =55^2-4\cdot3\cdot150=1225 \)
\(\sqrt D = 35\)
\( x_{1,2}=\frac{-b + \sqrt D}{2a}\)
\(x_1 = \frac{-(-55)+35}{2\cdot3}=\frac{90}{6} = 15\).
\(x_2 = \frac{-(-55)-35}{2\cdot3}=\frac{20}{6} =\)
\(=\frac{10}{3} = 3\frac13\) - не удовлетворяет условию.
1) \(15\) (км/ч) - скорость по ровной местности.
2) \(15 - 5 = 10\) (км/ч) - скорость в гору.
Ответ: по ровной местности скорость равна \(15\) км/ч, в гору — \(10\) км/ч.
Пояснения:
Использовали формулу времени:
\(\;t=\dfrac{s}{v}\),
где \(t\) - время, \(s\) - расстояние (путь), \(v\) - скорость.
Общее время — сумма времен на каждом участке..
Составили уравнение дробное рациональное уравнение, учитывая то, что общее время равно сумме времен на каждом участке:
\(\dfrac{20}{x-5}+\dfrac{60}{x}=6\).
Алгоритм решения дробного рационального уравнений:
1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;
2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
4) решить получившееся целое уравнение;
5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.
После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение
\( 3x^2-55x+150=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:
\(x_1 = 15\) и \(x_2 = 3\frac13\),
но второй корень не подходит, так как \(3\frac13<5\) и в таком случае скорость в гору будет отрицательной.
Значит, скорость по ровной местности будет равна \(15\) км/ч, а скорость в гору \(15 - 5 = 10\) (км/ч).
Вернуться к содержанию учебника