Задание 8. Вопросы для повторения к главе V - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник. Страница 113

Параллелограмм - это выпуклый четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

В параллелограмме АВСD, противоположные стороны АВ и DC, АD и ВС параллельны, т.е. АВ DC, АD ВС.

Пояснения:

Каждая диагональ параллелограмма делит его на два треугольника, поэтому параллелограмм - выпуклый четырехугольник.

Свойства диаметра:

Доказательство:

1) Пусть диаметр АВ окружности с центром О радиуса r проходит через середину М хорды CD. 

Докажем, что диаметр АВ CD.

COD равнобедренный (т.к. две его стороны - радиусы окружности), и отрезок ОМ является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой треугольника. Значит, ОМ CD, поэтому АВ CD.

2) Пусть теперь диаметр АВ данной окружности перпендикулярен хорде CD, и докажем, что он делит хорду пополам.

Рассмотрим диаметр EF, проходящий через середину М хорды CD.

По доказанному выше, EF CD. Но тогда через центр О окружности проходят две прямые AB и EF, перпендикулярные CD, значит, они совпадают. Поэтому EF и AB — один и тот же диаметр.

---

2⁰. Каждая точка, из которой диаметр окружности виден под прямым углом, лежит на этой окружности.

Обратно: из каждой точки окружности любой диа метр, не проходящий через данную точку, виден под прямым углом.

Доказательство:

1) Пусть АВ — диаметр окружности с центром О. Тогда если для точки С угол АСВ прямой, то в прямоугольном АСВ медиана СО равна половине гипотенузы, к которой она проведена. Тогда ОА = ОВ = ОС, т.е. С лежит на окружности с центром О радиуса ОА.

2) Пусть точка C лежит на окружности с диаметром AB, O — центр этой окружности. Тогда точка O — середина отрезка AB. В ACB медиана CO равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому угол АСВ прямой.