Упражнение 857 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(x^2 + 10 > 0\) при любом значении \(x\), так как \(x^2 \geqslant 0\) при любом значении \(x\) и \(10 > 0\).

б) \(x^2 + 20x + 100 > 0\) не при любом значении \(x\), так как

\(x^2 + 20x + 100 = (x + 10)^2.\)

Квадрат любого числа неотрицателен, и при \(x = -10\) равен нулю:

\((-10 + 10)^2 = 0.\)

Пояснения:

Квадрат выражения всегда неотрицателен:

\( a^2 \ge 0. \)

Квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) 

Пояснение к пункту а):

Сумма неотрицательного числа \(x^2\geqslant 0\) и положительного числа \(10 > 0\) всегда больше нуля, поэтому неравенство \(x^2 + 10 > 0\) верно при любом значении \(x\).

Пояснение к пункту б):

Преобразовали в полный квадрат: \(x^2+20x+100=(x+10)^2\). А при \(x=-10\), квадрат полученного двучлена равен нулю, поэтому неравенство \(x^2 + 20x + 100 > 0\) верно не при любом значении \(x\).

а) \((x^2 - 5)(x^2 + 5) =\)

\(=(x^2)^2 - 5^2 = x^4 - 25\)

б) \((4 + y^2)(y^2 - 4) =\)

\(=(y^2)^2 - 4^2 = y^4 - 16\)

в) \((9a - b^2)(b^2 + 9a) =\)

\(=(9a)^2 - (b^2)^2 = 81a^2 - b^4\)

г) \((0{,}7x + y^2)(0{,}7x - y^2) =\)

\(=(0{,}7x)^2 - (y^2)^2 = 0{,}49x^2 - y^4\)

д) \((10p^2 - 0{,}3q^2)(10p^2 + 0{,}3q^2) =\)

\(=(10p^2)^2 - (0{,}3q^2)^2 =\)

\(=100p^4 - 0{,}09q^4\)

е) \((a^3 - b^2)(a^3 + b^2) =\)

\(=(a^3)^2 - (b^2)^2 = a^6 - b^4\)

ж) \((c^4 + d^2)(d^2 - c^4) = \)

\(=(d^2)^2 - (c^4)^2 = d^4 - c^8\)

з) \((5x^2 + 2y^3)(5x^2 - 2y^3) =\)

\(=(5x^2)^2 - (2y^3)^2 = 25x^4 - 4y^6\)

и) \((1{,}4c - 0{,}7y^3)(0{,}7y^3 + 1{,}4c) =\)

\(=(1{,}4c)^2 - (0{,}7y^3)^2 =\)

\(=1{,}96c^2 - 0{,}49y^6\)

к) \((1{,}3a^5 - 0{,}1b^4)(1{,}3a^5 + 0{,}1b^4) =\)

\(=(1{,}3a^5)^2 - (0{,}1b^4)^2 =\)

\(=1{,}69a^{10} - 0{,}01b^8\)

Пояснения:

Использованная формула:

\( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \) - произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Также помним свойства степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n;\)

\((a^m)^n = a^{m\cdot{n}}.\)