Упражнение 167 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{2 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} - \frac{a}{x}}{2 ^{\color{blue}{\backslash{x}}} + \frac{a}{x}} = \frac{\frac{2x - a}{x}}{\frac{2x + a}{x}} =\)

\(=\frac{2x - a}{x} : \frac{2x + a}{x}=\)

\(=\frac{2x - a}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{2x + a}=\)

\(=\frac{2x - a}{2x + a}. \)

б) \( \frac{\frac{a - b}{c} + 3 ^{\color{blue}{\backslash{c}}} }{\frac{a + b}{c} - 1 ^{\color{blue}{\backslash{c}}} } = \frac{\frac{a - b + 3c}{c}}{\frac{a + b - c}{c}} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{c} : \frac{a + b - c}{c} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{\cancel{c}} \cdot \frac{\cancel{c}}{a + b - c} =\)

\(=\frac{a - b + 3c}{a + b - c}. \)

в) \( \frac{\frac{1}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} + \frac{1}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} }{\frac{1}{x} - \frac{1}{y}} = \frac{\frac{y + x}{xy}}{\frac{y - x}{xy}} =\)

\(=\frac{y + x}{xy} : \frac{y - x}{xy}=\)

\(=\frac{y + x}{\cancel{xy}} \cdot \frac{\cancel{xy}}{y - x}=\frac{y+x}{y - x}. \)

г) \(\frac{x - y}{\frac{x}{y} ^{\color{blue}{\backslash{x}}} -\frac{y}{x} ^{\color{blue}{\backslash{y}}} }=\frac{x - y}{\frac{x^2-y^2}{xy}}=\)

\(=(x-y) : \frac{x^2-y^2}{xy}=\)

\(=(x-y) \cdot \frac{xy}{x^2-y^2}=\)

\(=\frac{\cancel{(x-y)}\cdot xy}{\cancel{(x-y)}(x+y)}=\frac{xy}{x+y}.\)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).

а) Если \(a = \frac{1}{1-x}\), \(b = \frac{1}{1+x}\), то

\(\frac{a+b}{a-b} = \frac{\frac{1}{1-x} ^{\color{blue}{\backslash{1+x}}} + \frac{1}{1+x ^{\color{blue}{\backslash{1-x}}} }}{\frac{1}{1-x} ^{\color{blue}{\backslash{1+x}}} - \frac{1}{1+x} ^{\color{blue}{\backslash{1-x}}} } =\)

\(=\frac{(1+x)+(1-x)}{(1-x)(1+x)} : \frac{(1+x)-(1-x)}{(1-x)(1+x)} =\)

\(=\frac{1+\cancel{x}+1-\cancel{x}}{1-x^2} : \frac{\cancel1+x-\cancel1+x}{1-x^2} =\)

\(=\frac{2}{1-x^2} : \frac{2x}{1-x^2} =\)

\(=\frac{\cancel{2}}{\cancel{1-x^2}} \cdot \frac{\cancel{1-x^2}}{\cancel{2}x} =\frac1x\).

б) Если \(x = \frac{ab}{a-b}\), то

\(\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} =\)

\(=\frac{a\cdot\frac{ab}{a-b}}{a ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} +\frac{ab}{a-b}}-\frac{b\cdot\frac{ab}{a-b}}{b ^{\color{blue}{\backslash{a-b}}} -\frac{ab}{a-b}} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a(a-b)+ab}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{b(a-b)-ab}{a-b} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a^2 - \cancel{ab}+\cancel{ab}}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{\cancel{ab}-b^2-\cancel{ab}}{a-b} =\)

\(=\frac{a^2b}{a-b}: \frac{a^2}{a-b} - \frac{ab^2}{a-b} : \frac{-b^2}{a-b} =\)

\(=\frac{\cancel{a^2}b}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{a^2}} + \frac{a\cancel{b^2}}{\cancel{a-b}} \cdot \frac{\cancel{a-b}}{\cancel{b^2}} =\)

\(=b+a\).

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Дробь всегда можно заменить делением (числитель разделить на знаменатель).

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Разность квадратов двух выражений:

\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\).

5) Сокращение дробей:

\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).