Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№236 учебника 2023-2025 (стр. 59):
Докажите, что тождественно равны выражения
\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} \;-\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)}\) и \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \)
№236 учебника 2013-2022 (стр. 56):
Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
а) \(\displaystyle\frac{5x}{x+2}\);
б) \(\displaystyle\frac{-2x}{x-1}\);
в) \(\displaystyle\frac{2x}{5-x}\);
г) \(\displaystyle\frac{x-3}{2-x}\).
№236 учебника 2023-2025 (стр. 59):
№236 учебника 2013-2022 (стр. 56):
№236 учебника 2023-2025 (стр. 59):
\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} \;-\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \)
\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} ^{\color{red}{\backslash{a+b}}} -\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)} ^{\color{red}{\backslash{a-b}}} =\)
\( = \frac{(a x + b y)(a + b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}- \frac{(b x - a y)(a - b)}{(a^2 - b^2)(x+y)}= \)
\( = \frac{a^2 x + a b x + a b y + b^2 y}{(a^2 - b^2)(x+y)}-\)
\(-\frac{a b x - b^2 x - a^2 y + a b y}{(a^2 - b^2)(x+y)}= \)
\( = \tfrac{a^2 x + a b x + a b y + b^2 y \;-\; \bigl(a b x - b^2 x - a^2 y + a b y\bigr) }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)
\( = \tfrac{a^2 x +\cancel{ a b x} +\cancel{ a b y} + b^2 y-\cancel{a b x} + b^2 x + a^2 y - \cancel{a b y} }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)
\( = \frac{ a^2 x + b^2 x + a^2 y + b^2 y }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)
\( = \frac{ (a^2 + b^2) x + (a^2 + b^2) y }{(a^2 - b^2)(x+y)}=\)
\( = \frac{ (a^2 + b^2) \cancel{(x +y)}}{(a^2 - b^2)\cancel{(x+y)}}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}. \)
Следовательно,
\( \frac{a x + b y}{(a - b)(x + y)} \;-\; \frac{b x - a y}{(a + b)(x + y)}= \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2}, \) что и требовалось доказать.
Пояснения:
1) Для доказательства того, что рассматриваемые выражения тождественно равны, нужно преобразовать первое выражение. В результате преобразований мы должны получить второе выражение.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители. Чтобы получить общий знаменатель, составляем произведение из всех множителей без повторений, входящих в знаменатели вычитаемых дробей.
2) При разложении на множители знаменателей используем следующие приемы:
- вынесение общего множителя за скобки:
\(kx-ky=k(x-y)\).
3) После приведения к общему знаменателю выполняем вычитание или сложение числителей, раскрывая скобки и приводя подобные члены, затем раскладываем полученный многочлен на множители методом группировки. Затем сокращаем полученную дробь на общий множитель числителя и знаменателя.
№236 учебника 2013-2022 (стр. 56):
а) \( \frac{5x}{x+2} =\frac{5x+10-10}{x+2}=\)
\(=\frac{5(x+2)-10}{x+2} =\)
\(=\frac{5\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} -\frac{10}{x+2} =\)
\(=5 - \frac{10}{x+2}. \)
б) \( \frac{-2x}{x-1} =\frac{-2x+2-2}{x-1} =\)
\(=\frac{-2(x-1)-2}{x-1} =\)
\(=\frac{-2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} -\frac{2}{x-1} =\)
\(=-2 - \frac{2}{x-1}. \)
в) \( \frac{2x}{5-x} =\frac{-10+2x+10}{5-x} =\)
\(=\frac{-2(5-x)+10}{5-x} =\)
\(=\frac{-2\cancel{(5-x)}}{\cancel{5-x}} +\frac{10}{5-x} =\)
\(=-2+\frac{10}{5-x}.\)
г) \( \frac{x-3}{2-x} =\frac{(x-2)-1}{-(x-2)} = \)
\(=-\frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-2}}+ \frac{1}{x-2}= \)
\(=-1+\frac{1}{x-2}.\)
Пояснения:
Представляем числитель как произведение целого числа и знаменателя плюс остаток, при этом используем то, что если к выражению прибавить и отнять от него одно и тоже число, значение данного выражения не изменится. Затем раскладываем полученную дробь на сумму или разность двух дробей, после чего сокращаем первую дробь на знаменатель. Получаем сумму или разность целого выражения и дроби.
Вернуться к содержанию учебника