Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№240 учебника 2023-2025 (стр. 59):
Представьте дробь в виде суммы или разности целого выражения и дроби:
а) \(\displaystyle\frac{5x}{x+2}\);
б) \(\displaystyle\frac{-2x}{x-1}\);
в) \(\displaystyle\frac{2x}{5-x}\);
г) \(\displaystyle\frac{x-3}{2-x}\).
№240 учебника 2013-2022 (стр. 57):
Докажите, что если \(m \neq n\), \(m \neq 0\) и \(n \neq 0\), то значение выражения
\[\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \bigl(\frac1m-\frac1n\bigr)^2 \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} \]
не зависит от значений переменных.
№240 учебника 2023-2025 (стр. 59):
№240 учебника 2013-2022 (стр. 57):
Вспомните:
№240 учебника 2023-2025 (стр. 59):
а) \( \frac{5x}{x+2} =\frac{5x+10-10}{x+2}=\)
\(=\frac{5(x+2)-10}{x+2} =\)
\(=\frac{5\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} -\frac{10}{x+2} =\)
\(=5 - \frac{10}{x+2}. \)
б) \( \frac{-2x}{x-1} =\frac{-2x+2-2}{x-1} =\)
\(=\frac{-2(x-1)-2}{x-1} =\)
\(=\frac{-2\cancel{(x-1)}}{\cancel{x-1}} -\frac{2}{x-1} =\)
\(=-2 - \frac{2}{x-1}. \)
в) \( \frac{2x}{5-x} =\frac{-10+2x+10}{5-x} =\)
\(=\frac{-2(5-x)+10}{5-x} =\)
\(=\frac{-2\cancel{(5-x)}}{\cancel{5-x}} +\frac{10}{5-x} =\)
\(=-2+\frac{10}{5-x}.\)
г) \( \frac{x-3}{2-x} =\frac{(x-2)-1}{-(x-2)} = \)
\(=-\frac{\cancel{x-2}}{\cancel{x-2}}+ \frac{1}{x-2}= \)
\(=-1+\frac{1}{x-2}.\)
Пояснения:
Представляем числитель как произведение целого числа и знаменателя плюс остаток, при этом используем то, что если к выражению прибавить и отнять от него одно и тоже число, значение данного выражения не изменится. Затем раскладываем полученную дробь на сумму или разность двух дробей, после чего сокращаем первую дробь на знаменатель. Получаем сумму или разность целого выражения и дроби.
№240 учебника 2013-2022 (стр. 57):
\(\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \bigl(\frac1m ^{\color{red}{\backslash{n}}} -\frac1n ^{\color{red}{\backslash{m}}} \bigr)^2 \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)
\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \bigl(\frac{n-m}{mn}\bigr)^2 \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)
\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn} : \frac{(n-m)^2}{(mn)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)
\(=\displaystyle \frac{2}{\,mn}\cdot \frac{(mn)^2}{(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)
\(= \frac{2(mn)\cancel{^2}}{\cancel{mn}(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} =\)
\(= \frac{2mn}{(n-m)^2} \;-\; \frac{m^2+n^2}{(n-m)^2} =\)
\(= \frac{2mn-(m^2+n^2)}{(n-m)^2} =\frac{2mn-m^2-n^2}{(n-m)^2} =\)
\(=-\frac{n^2-2mn+m^2}{(n-m)^2}=\frac{\cancel{(n-m)^2}}{\cancel{(n-m)^2}}=-1\)
Следовательно, значение выражения при любых допустимых \(m\) и \(n\) равно \(-1\), то есть не зависит от значения переменных.
Пояснения:
Основные используемые правила:
1) Порядок действий:
если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками;
если в выражении нет скобок, то сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание.
2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители.
3) Умножение дробей:
\(\frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)
4) Квадрат разности двух выражений:
\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);
8) Противоположные выражения:
\(a-b = -(b-a)\).
9) Сокращение дробей:
\(\frac{k\cdot a}{k\cdot b}=\frac{a}{b}\).
10) В итоге оба выражение сводятся к константе \(-1\), то есть оно не зависит от значений переменных.
Каждый шаг проводился последовательно:
1. Перевели разность дробей в одну дробь и возвели в квадрат.
2. Преобразовали деление на дробь в умножение на её обратную.
3. Сгруппировали разности в числителе итоговой дроби и сократили \((m-n)^2\).
В результате получили постоянное значение \(-1\), не зависящее от \(m\) и \(n\).
Вернуться к содержанию учебника