Упражнение 243 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle \frac{a^2+ax+ab+bx}{a^2-ax-ab+bx}\;\cdot\;\frac{a^2-ax-bx+ab}{a^2+ax-bx-ab}=\)

\(=\displaystyle \frac{a(a+x)+b(a+x)}{a(a-x)-b(a-x)}\;\cdot\;\frac{a(a-x)+b(a-x)}{a(a+x)-b(a+x)}=\)

\(=\displaystyle \frac{(a+b)(a+x)}{(a-x)(a-b)}\;\cdot\;\frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a-b)}=\)

\(\displaystyle \frac{(a+b)\cancel{(a+x)}(a+b)\cancel{(a-x)}}{(a-b)\cancel{(a-x)}(a-b)\cancel{(a+x)}} = \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2}.\)

б) \(\displaystyle \frac{x^2-bx+ax-ab}{x^2+bx-ax-ab} : \frac{x^2+bx+ax+ab}{x^2-bx-ax+ab}=\)

\(=\displaystyle \frac{x(x-b)+a(x-b)}{x(x+b)-a(x+b)} : \frac{x(x+b)+a(x+b)}{x(x-b)-a(x-b)}=\)

\(=\displaystyle \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} : \frac{(x+a)(x+b)}{(x-a)(x-b)}=\)

\(=\displaystyle \frac{(x+a)(x-b)}{(x-a)(x+b)} \cdot \frac{(x-a)(x-b)}{(x+a)(x+b)}=\)

\(=\displaystyle \frac{\cancel{(x+a)}(x-b)\cancel{(x-a)}(x-b)}{\cancel{(x-a)}(x+b)\cancel{(x+a)}(x+b)}=\)

\( = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2}.\)

Пояснения:

Правила и приёмы, использованные при решении:

1. Вынесение общего множителя из суммы:

\(\displaystyle ac + bc = c(a + b)\).

2. Сокращение дробей:

\(\displaystyle \frac{A\cdot C}{B\cdot C} = \frac{A}{B}\), если \(C\neq 0\).

3. Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

Пояснения к пункту а):

Сгруппировали в числителе и в знаменателе по двум слагаемым, вынесли общий множитель \(a+b\) или \(a-b\). После этого в произведении дробей сократили множители \((a+x)\) и \((a-x)\).

В пояснениях к пункту б):

Аналогичным образом сгруппировали по парам \(x^2 \pm bx\) и \(ax \pm ab\), вынесли множители \((x\pm a)\) и \((x\pm b)\), затем при умножении (вместо деления — через обратную дробь) сократили общие множители \((x+a)\) и \((x-a)\).

а) \( ab + \frac{ab}{a+b}\Bigl(\frac{a+b}{a-b} - (a+b)\Bigr) =\)

\(= ab + \frac{ab}{a+b}\Biggl(\frac{a+b}{a-b} - \frac{(a+b)}{1} ^{\color{red}{\backslash{a-b}}} \Biggr) =\)

\(= ab + \frac{ab}{a+b}\Biggl(\frac{a+b}{a-b} - \frac{(a+b)(a-b)}{a-b}  \Biggr) =\)

\(= ab + \frac{ab}{a+b}\cdot\frac{a+b-(a+b)(a-b)}{a-b} =\)

\(= ab + \frac{ab}{a+b}\cdot\frac{(a+b)(1-a+b)}{a-b} =\)

\(= ab + \frac{ab\cancel{(a+b)}(1-a+b)}{\cancel{(a+b)}(a-b)} =\)

\(= \frac{ab}{1} ^{\color{red}{\backslash{a-b}}} + \frac{ab(1-a+b)}{(a-b)} =\)

\(= \frac{ab(a-b)}{a-b} + \frac{ab(1-a+b)}{(a-b)} =\)

\(= \frac{ab(a-b)+ab(1-a+b)}{a-b}=\)

\(= \frac{ab(\cancel{a}-\cancel{b}+1-\cancel{a}+\cancel{b})}{a-b}=\frac{ab}{a-b}.\)

б)  \(\displaystyle\Bigl(\dfrac{y^2 - xy}{x^2 + xy} - xy + y^2\Bigr)\cdot\dfrac{x}{x-y} + \dfrac{y}{x+y}=\)

\(=\displaystyle\Bigl(\dfrac{y^2 - xy}{x^2 + xy} \overset{{\color{red}1}}{-} (xy - y^2)\Bigr) \overset{{\color{red}2}}{\cdot}\dfrac{x}{x-y} \overset{{\color{red}3}}{+} \dfrac{y}{x+y}= -xy. \)

\({\color{red}1)}   \displaystyle\dfrac{y^2 - xy}{x^2 + xy}- (xy - y^2) =\)

\(=\frac{y(y-x)}{x(x+y)} +\frac{ y(y-x)}{1}^{\color{red}{\backslash{x(x+y)}}} =\)

\(=\frac{y(y-x)}{x(x+y)} +\frac{ y(y-x)x(x+y)}{x(x+y)} =\)

\(=\frac{y(y-x)+ y(y-x)x(x+y)}{x(x+y)} =\)

\(=\frac{y(y-x)(1+ x(x+y))}{x(x+y)} =\)

\( = \frac{y(y-x)(x^2+xy+1)}{x(x+y)} \)

\({\color{red}2)}  \frac{y(y-x)(x^2+xy+1)}{x(x+y)}\cdot\frac{x}{x-y} =\)

\(=\frac{y(y-x)(x^2+xy+1)x}{x(x+y)(x-y)}=\)

\(=-\frac{y\cancel{(x-y)}(x^2+xy+1)x}{x(x+y)\cancel{(x-y)}}=\)

\(= -\frac{y(x^2+xy+1)}{x+y}\)

\({\color{red}3)}  -\frac{y(x^2+xy+1)}{x+y} + \frac{y}{x+y} =\)

\(=\frac{-y(x^2+xy+1) + y}{x+y} =\)

\(=\frac{-yx^2-xy^2-\cancel y + \cancel y}{x+y} =\)

\(=\frac{-yx\cancel{(x+y)}}{\cancel{x+y}} = -xy. \)

в) \( \Biggl(\frac1{(2a-b)^2} + \frac2{4a^2-b^2} + \frac1{(2a+b)^2}\Biggr)\times\)

\(\times\frac{4a^2+4ab+b^2}{16a}= \)

\(=\Biggl(\frac1{(2a-b)^2}^{\color{red}{\backslash{(2a+b)^2}}} + \frac2{(2a-b)(2a+b)}^{\color{red}{\backslash{2a-b}(2a+b)}} + \frac1{(2a+b)^2}^{\color{red}{\backslash{(2a-b)^2}}}\Biggr)\times\)

\(\times\frac{(2a+b)^2}{16a}= \)

\(=\tfrac{(2a+b)^2 + 2(2a-b)(2a+b) + (2a-b)^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\times\tfrac{(2a+b)^2}{16a}= \)

\(= \frac{16a^2}{(2a-b)^2(2a+b)^2}\cdot\frac{(2a+b)^2}{16a}= \)

\(= \frac{\cancel{16}a{^{\cancel2}} \cancel{(2a+b)^2}}{(2a-b)^2\cancel{(2a+b)^2}\cdot\cancel{16}a}= \)

\(=\frac{a}{(2a-b)^2}. \)

г) \(\displaystyle\dfrac{4c^2}{(c-2)^4} : \Biggl(\dfrac1{(c+2)^2} + \dfrac1{(c-2)^2} + \dfrac2{c^2-4}\Biggr)=\)

\(=\displaystyle\dfrac{4c^2}{(c-2)^4} :\)

\(:\Biggl(\dfrac1{(c+2)^2}^{\color{red}{\backslash{(c-2)^2}}} + \dfrac1{(c-2)^2}^{\color{red}{\backslash{(c+2)^2}}} + \dfrac2{(c-2)(с+2)}^{\color{red}{\backslash{(c-2)(c+2)}}}\Biggr)=\)

\(=\displaystyle\tfrac{4c^2}{(c-2)^4} :\tfrac{(c-2)^2+(c+2)^2+2(c-2)(c+2)}{(c+2)^2(c-2)^2}=\)

\(=\displaystyle\tfrac{4c^2}{(c-2)^4} :\tfrac{c^2-4c+4+c^2+4c+4+2c^2-8}{(c+2)^2(c-2)^2}=\)

\(=\displaystyle\dfrac{4c^2}{(c-2)^4} :\dfrac{4c^2}{(c+2)^2(c-2)^2}=\)

\(=\displaystyle\dfrac{4c^2}{(c-2)^4} \cdot\dfrac{(c+2)^2(c-2)^2}{4c^2}=\)

\(=\displaystyle\dfrac{\cancel{4c^2}(c+2)^2\cancel{(c-2)^2}}{(c-2){\cancel{^4}}^{\color{red}2}\cdot\cancel{4c^2}} =\)

\(= \frac{(c+2)^2}{(c-2)^2}. \)

Пояснения:

Основные используемые правила:

1) Порядок действий:

если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках, а затем за скобками.

2) Для сложения и вычитания дробей приводим их к общему знаменателю, умножая числитель и знаменатель каждой дроби на необходимые множители, затем выполняем сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

3) Деление дробей выполняется умножением на обратную дробь:

\(\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B}\cdot\frac{D}{C}= \frac{A\cdot D}{B\cdot C}.\)

4) Вынос общего множителя:

\(\displaystyle p\,a+p\,b=p(a+b).\)

5) Разность квадратов:

\(\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).\)

6) Квадрат суммы двух выражений:

\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

7) Квадрат разности двух выражений:

\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);