Упражнение 248 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\displaystyle\biggl(x - \frac{4xy}{x+y} + y\biggr)\;\times\)

\(\;\times\biggl(x + \frac{4xy}{x-y} - y\biggr)=\)

\(=\displaystyle\biggl(\frac{x+y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x+y}}} - \frac{4xy}{x+y}\biggr)\;\times\)

\(\times\;\biggl(\frac{x-y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x-y}}} + \frac{4xy}{x-y}\biggr)=\)

\(=\frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y} \times\)

\(\times\; \frac{(x-y)^2 + 4xy}{x-y}=\)

\(=\frac{x^2 +2xy + y^2 -4xy}{x+y}\times\)

\(\times \frac{x^2 - 2xy + y^2 +4xy}{x-y}=\)

\(=\frac{x^2 -2xy + y^2}{x+y}\times\)

\(\times \frac{x^2 +2xy + y^2}{x-y}=\)

\(=\frac{(x- y)^2}{x+y}\cdot \frac{(x+ y)^2}{x-y}\)

\(=\frac{(x- y)\cancel{^2}(x+ y)\cancel{^2}}{\cancel{(x+y)}\cancel{(x-y)}}=x^2-y^2\)

б) \(\displaystyle\Biggl(a - \frac{1-2a^2}{1-a} + 1\Biggr)\;:\)

\(:\;\Biggl(1 - \frac{1}{1-a}\Biggr)=\)

\(=\displaystyle\Biggl(\frac{1+a}{1} ^{\color{red}{\backslash{1-a}}} - \frac{1-2a^2}{1-a}\Biggr)\;:\)

\(:\;\Biggl(\frac{1}{1} ^{\color{red}{\backslash{1-a}}} - \frac{1}{1-a}\Biggr)=\)

\(=\frac{1-a^2-(1-2a^2)}{1-a^2}:\frac{1-a-1}{1-a}=\)

\(=\frac{1-a^2-1+2a^2}{1-a^2}:\frac{-a}{1-a}=\)

\(=-\frac{a^2}{1-a^2}:\frac{a}{1-a}=\)

\(=-\frac{a^2}{1-a^2}\cdot\frac{1-a}{a}=\)

\(=-\frac{a\cancel{^2}\cancel{(1-a)}}{\cancel{(1-a)}(1+a)\cancel a}=-a.\)

Пояснения:

При решении использованы следующие приёмы:

— Приведение суммы и разности дробей к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{A}{D} \pm \frac{B}{D} = \frac{A\pm B}{D}.\)

— Разложение квадратов разности и суммы: \(\displaystyle x^2\pm 2xy + y^2 = (x\pm y)^2.\)

— Деление на дробь равносильно умножению на обратную:

\(\displaystyle \frac{P}{Q} : \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{S}{R}.\)

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

В пункте а) сначала преобразовали каждый множитель к квадрату суммы или разности, затем при умножении сократили один из множителей.

В пункте б) объединили члены под единым знаменателем, упростили числитель, потом разделили полученные дроби и сократили общий множитель.

а) \( \frac{x - \frac{yz}{y - z}}{y - \frac{xz}{x - z}} =\)

\(=\biggl(\frac{x}{1} ^{\color{red}{\backslash{y-z}}} - \frac{yz}{y - z}\biggr):\)

\(:\biggl({\frac{y}{1} ^{\color{red}{\backslash{x-z}}} - \frac{xz}{x - z}}\biggr)=\)

\(=  {\frac{x(y - z) - yz}{y - z}}:{\frac{y(x - z) - xz}{x - z}} =\)

\(=  {\frac{x(y - z) - yz}{y - z}}\cdot{\frac{x - z}{y(x - z) - xz}} =\)

\(=  {\frac{xy - xz - yz}{y - z}}\cdot{\frac{x - z}{xy - yz - xz}} =\)

\(=  {\frac{\cancel{(xy - xz - yz)}(x-z)}{(y - z)\cancel{(xy - yz - xz)}}} = \frac{x - z}{\,y - z\,}. \)

б) \(\frac{\frac{a - x}{a}^{\color{red}{\backslash{a-x}}} + \frac{x}{\,a - x\,}^{\color{red}{\backslash{a}}}}{\frac{a + x}{a}^{\color{red}{\backslash{a+x}}} - \frac{x}{\,a + x\,}^{\color{red}{\backslash{a}}}}=\frac{\frac{(a - x)^2 + ax}{a(a - x)}}{\frac{(a + x)^2 - ax}{a(a + x)}}=\)

\(={\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)}}:{\frac{a^2 + ax + x^2}{a(a + x)}}=\)

\(=\frac{a^2 - ax + x^2}{a(a - x)} \cdot \frac{a(a + x)}{a^2 + ax + x^2} =\)

\(=\frac{(a + x)(a^2 - ax + x^2)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)}=\frac{a^3+x^3}{a^3-x^3}\)

в)  \(\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,}=\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{1}{\,\frac{x + 1}{x}\,}\,}=\)

\(=\displaystyle \frac{1}{\,1 + \frac{x}{x + 1}\,}=\displaystyle \frac{1}{\frac{2x + 1}{x + 1}}=\frac{x + 1}{2x + 1}.\)

г) \(\displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{1}{\,1 + \frac{1}{x}\,}\,} = \displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{1}{ \frac{x + 1}{x}}\,}=\)

\(= \displaystyle \frac{1}{\,1 - \frac{x}{ x + 1}\,}= \displaystyle \frac{1}{\frac{1}{x + 1}}=x+1.\)

Пояснения:

При решении использованы следующие приёмы:

— Приведение суммы и разности дробей к общему знаменателю:

\(\displaystyle \frac{A}{D} \pm \frac{B}{D} = \frac{A\pm B}{D}.\)

— Сумма и разность кубов:

\(\ a^3 \pm b^3 = (a\pm b)(a^2 + ab + b^2)\)

— Деление на дробь равносильно умножению на обратную:

\(\displaystyle \frac{P}{Q} : \frac{R}{S} = \frac{P}{Q}\cdot\frac{S}{R}.\)

— Сокращение одинаковых множителей в дроби.

— Для каждого выражения привели суммы или разности дробей к общему знаменателю.

— В пункте а) после вычитания вынесли общий множитель и сократили одинаковый многочлен в числителе и знаменателе.

— В пункте б) отдельно упростили числитель и знаменатель левой и правой частей, затем применили правило деления дробей.

— В пунктах в) и г) последовательно раскрыли вложенные дроби, приведя их к единому знаменателю и сократив.