Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№455 учебника 2023-2025 (стр. 107):
Известно, что число \(a\) рациональное, а число \(b\) иррациональное. Будет ли рациональным или иррациональным числом:
а) \(a + b\);
б) \(a - b\)?
№455 учебника 2013-2022 (стр. 109):
Известно, что числа \(a\) и \(b\) целые. Является ли целым число:
а) \(a + b\);
б) \(a - b\);
в) \(a b\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{b}\) (где \(b \neq 0\))?
№455 учебника 2023-2025 (стр. 107):
Вспомните рациональные и иррациональные числа.
№455 учебника 2013-2022 (стр. 109):
Вспомните:
№455 учебника 2023-2025 (стр. 107):
\(a\) - рациональное число,
\(b\) - иррациональное число.
а) \(a + b\) — иррациональное.
б) \(a - b\) — иррациональное.
Пояснения:
Правила:
— Сумма рационального и иррационального числа всегда иррациональна.
— Разность рационального и иррационального числа всегда иррациональна.
Обоснование (доказательство от противного):
Предположим, что \(a+b\) рациональное число. Поскольку \(a\) рациональное число, то
\[ b = (a+b) - a \]
есть разность двух рациональных чисел \(a+b\) и \(a\), а значит рациональна. Противоречие с тем, что \(b\) иррационально. Следовательно, \(a+b\) иррационально.
Аналогично для \(a-b\): если бы \(a-b\) было бы рациональным числом, то
\[ b = a - (a-b) \]
тоже было бы рациональным. Противоречие с тем, что \(b\) иррационально. Следовательно, \(a-b\) иррационально.
№455 учебника 2013-2022 (стр. 109):
1) \(a + b\) — целое число.
2) \(a - b\) — целое число.
3) \(a b\) — целое число.
4) \( \frac{a}{b}\) — целое число только если \(a\) кратно \(b\).
Пояснения:
Сумма, разность и произведение целых чисел всегда является целым числом, то есть множество целых чисел замкнуто относительно операций сложения, вычитания и умножения.
Частное целых чисел будет целым числом только тогда, когда числитель делится нацело на знаменатель, то есть множество целых чисел не замкнуто относительно операции деления.
Вернуться к содержанию учебника