Упражнение 451 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) Пусть \(x = 2m + 1\), \(y = 2n + 1\).

\(x + y = (2m+1) + (2n+1) =\)

\(=2m+1 + 2n+1 =\)

\(=2m + 2n + 2=2(m+n+1)\) — чётное число.

б) Пусть \(x = 2m + 1\), \(y = 2n + 1\).

\(x - y = (2m+1) - (2n+1) =\)

\(= 2m+1 - 2n-1 =2m-2n=\)

\(=2(m-n)\) — чётное число.

в) Пусть \(x = 2m + 1\), \(y = 2n + 1\).

\(x y = (2m+1)(2n+1) =\)

\(=4mn + 2m + 2n + 1 =\)

\(=2(2mn + m + n) + 1\) — нечётное число.

Пояснения:

В решении использованы следующие определения и приёмы:

— Число \(a\) называется нечётным, если существует целое \(k\) такое, что

\(a = 2k + 1\).

— Число \(b\) называется чётным, если существует целое \(k\) такое, что \(b = 2k\).

а) \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5})^2\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2+2\cdot(\sqrt{2} + \sqrt{3})\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2+2\sqrt{5}\cdot(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 5\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 2+2\sqrt{6} +3+2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} + 5\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10+\sqrt{2^2\cdot6}+\sqrt{2^2\cdot10} + \sqrt{2^2\cdot15}\)

\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10+\sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}\)

Что и требовалось доказать.

б) \( \sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}\)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = ((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5})^2\)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = ((1 + \sqrt{3})^2 - 2\cdot(1 + \sqrt{3})\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2\)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5}\cdot(1 + \sqrt{3}) + 5\)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 5\)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} \)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{2^2\cdot3} - \sqrt{2^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot15} \)

\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} + \sqrt{60} \)

Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Если \(\sqrt{a} = x\), то \(a = x^2\).

3. Свойства корня:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\cdot a}\).

4. Распределительное свойство умножения:

\(x(a + b) = ax + bx\).