Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№446 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Освободитесь от внешнего радикала в выражении:
а) \(\displaystyle \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}\), если \(a\ge1\);
б) \(\displaystyle \sqrt{a+b+1 + 2\sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1 - 2\sqrt{a+b}}\), если \(a+b\ge1\).
№446 учебника 2013-2022 (стр. 108):
Освободитесь от внешнего радикала, пользуясь формулой двойного радикала:
а) \(\displaystyle \sqrt{55 + \sqrt{216}};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{86 - \sqrt{5460}};\)
в) \(\displaystyle \sqrt{17 + \sqrt{288}};\)
г) \(\displaystyle \sqrt{32 - \sqrt{1008}}.\)
№446 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Вспомните:
№446 учебника 2013-2022 (стр. 108):
Вспомните:
№446 учебника 2023-2025 (стр. 106):
а) \( \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}\), если \(a\ge1\).
\( \sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}=\)
\(=\sqrt{(a-1) + 2\sqrt{a-1} + 1}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{a-1})^2 + 2\sqrt{a-1} + 1^2}=\)
\( = \sqrt{(\sqrt{a-1} + 1)^2}=\)
\(=|\sqrt{a-1} + 1| = \sqrt{a-1} + 1.\)
б) \(\sqrt{a+b+1 + 2\sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1 - 2\sqrt{a+b}}\),
если \(a+b\ge1\).
\(=\sqrt{a+b+1 + 2\sqrt{a+b}}-\sqrt{a+b+1 - 2\sqrt{a+b}}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{a+b})^2 + 2\sqrt{a+b} + 1^2}-\sqrt{(\sqrt{a+b})^2 - 2\sqrt{a+b} + 1^2}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{a+b}+1)^2 }-\sqrt{(\sqrt{a+b}-1)^2}=\)
\(=|\sqrt{a+b}+1| - |\sqrt{a+b}-1|=\)
\(=\cancel{\sqrt{a+b}}+1 - \cancel{\sqrt{a+b}}+1=2\)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
2. Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);
\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\).
№446 учебника 2013-2022 (стр. 108):
\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}\)
а) \( \sqrt{55 + \sqrt{216}} =\)
\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{55^2-216}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{55^2-216}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{3025-216}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{3025-216}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{55 + \sqrt{2809}}{2}}+\sqrt{\frac{55 - \sqrt{2809}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{55 + 53}{2}}+\sqrt{\frac{55 - 53}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{108}{2}}+\sqrt{\frac{2}{2}}=\sqrt{54}+\sqrt{1}=\)
\(=\sqrt{9\cdot6}+\sqrt{1}=3\sqrt{6}+1.\)
б) \(\sqrt{86 - \sqrt{5460}} =\)
\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{86^2-5460}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{86^2-5460}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{7396-5460}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{7396-5460}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{86 + \sqrt{1936}}{2}}-\sqrt{\frac{86 - \sqrt{1936}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{86 + 44}{2}}-\sqrt{\frac{86 - 44}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{130}{2}}-\sqrt{\frac{42}{2}}=\)
\(=\sqrt{65} - \sqrt{21}. \)
в) \( \sqrt{17 + \sqrt{288}} =\)
\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{17^2-288}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{17^2-288}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{289-288}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{289-288}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{17 + \sqrt{1}}{2}}+\sqrt{\frac{17 - \sqrt{1}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{17 + 1}{2}}+\sqrt{\frac{17 - 1}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{18}{2}}+\sqrt{\frac{16}{2}}=\)
\(=\sqrt{9} + \sqrt{8} =3 + \sqrt{4\cdot2}=\)
\(=3 + 2\sqrt{2}. \)
г) \( \sqrt{32 - \sqrt{1008}} =\)
\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{32^2-1008}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{32^2-1008}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{1024-1008}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{1024-1008}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{32 + \sqrt{16}}{2}}-\sqrt{\frac{32 - \sqrt{16}}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{32 + 4}{2}}-\sqrt{\frac{32 - 4}{2}}=\)
\(=\sqrt{\frac{36}{2}}-\sqrt{\frac{28}{2}}=\)
\(=\sqrt{18} - \sqrt{14} =\sqrt{9\cdot2} - \sqrt{14}=\)
\(=3\sqrt{2} - \sqrt{14}. \)
Пояснения:
– Формула двойного радикала:
\(\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2}}\).
Свойства корня:
\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\);
\(\sqrt{k^2a} = k\sqrt{a}\).
Пояснения к пунктам:
а) \(a = 55\), \(b = 216\);
б) \(a = 86\), \(b = 5460\);
в) \(a = 17\), \(b = 288\);
г) \(a = 32\), \(b = 1008\).
Вернуться к содержанию учебника