Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№444 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Докажите, что верно равенство:
а) \(\displaystyle \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5};\)
б) \(\displaystyle \sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}.\)
№444 учебника 2013-2022 (стр. 107):
Освободитесь от внешнего радикала, представив подкоренное выражение в виде квадрата:
а) \(\displaystyle \sqrt{6 + 2\sqrt{5}}\);
б) \(\displaystyle \sqrt{11 - 4\sqrt{7}}\).
№444 учебника 2023-2025 (стр. 106):
Вспомните:
№444 учебника 2013-2022 (стр. 107):
Вспомните:
№444 учебника 2023-2025 (стр. 106):
а) \( \sqrt{10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5})^2\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2+2\cdot(\sqrt{2} + \sqrt{3})\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2})^2+2\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2+2\sqrt{5}\cdot(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 5\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 2+2\sqrt{6} +3+2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} + 5\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10+\sqrt{2^2\cdot6}+\sqrt{2^2\cdot10} + \sqrt{2^2\cdot15}\)
\( 10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = 10+\sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}\)
Что и требовалось доказать.
б) \( \sqrt{9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60}} = 1 + \sqrt{3} - \sqrt{5}\)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = ((1 + \sqrt{3}) - \sqrt{5})^2\)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = ((1 + \sqrt{3})^2 - 2\cdot(1 + \sqrt{3})\cdot\sqrt{5} + (\sqrt{5})^2\)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 1^2 + 2\cdot1\cdot\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{5}\cdot(1 + \sqrt{3}) + 5\)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} + 5\)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{5} + 2\sqrt{15} \)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{2^2\cdot3} - \sqrt{2^2\cdot5} + \sqrt{2^2\cdot15} \)
\( 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} - \sqrt{60} = 9 + \sqrt{12} - \sqrt{20} + \sqrt{60} \)
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
2. Если \(\sqrt{a} = x\), то \(a = x^2\).
3. Свойства корня:
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(k\sqrt{a} = \sqrt{k^2\cdot a}\).
4. Распределительное свойство умножения:
\(x(a + b) = ax + bx\).
№444 учебника 2013-2022 (стр. 107):
а) \( \sqrt{6 + 2\sqrt{5}} =\sqrt{5 + 2\sqrt{5}+1}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2\cdot\sqrt{5}\cdot1+1^2}=\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1| = \)
\(=\sqrt{5} + 1. \)
б) \( \sqrt{11 - 4\sqrt{7}}=\sqrt{7 - 4\sqrt{7} + 4} =\)
\(=\sqrt{(\sqrt7)^2 - 2\cdot\sqrt{7}\cdot2 + 2^2} =\)
\(=\sqrt{(\sqrt{7} - 2)^2} = |\sqrt{7} - 2|=\)
\(=\sqrt{7} - 2. \)
Пояснения:
Использованные формулы:
– Квадрат суммы:
\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)
– Квадрат разности:
\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)
– Свойства корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\);
\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);
\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\).
Вернуться к содержанию учебника