Упражнение 440 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a = \sqrt{11 + \sqrt{85}}\;-\;\sqrt{11 - \sqrt{85}}\)

\( a^2 = \bigl(\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}\bigr)^2 =\)

\(= \bigl(\sqrt{11 + \sqrt{85}}\bigr)^2-2\cdot\sqrt{11 + \sqrt{85}}\cdot\sqrt{11 - \sqrt{85}}+\bigl(\sqrt{11 - \sqrt{85}}\bigr)^2=\)

\(=11 + \cancel{\sqrt{85}} - 2\sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} + 11 - \cancel{\sqrt{85}}= \)

\( = 22 - 2\sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2} = \)

\(=22 - 2\sqrt{121 - 85} = 22 - 2\sqrt{36} =\)

\(=22 - 2\cdot6=22 - 12 = 10. \)

\( a = \sqrt{10}.\)

Ответ: \( a = \sqrt{10}.\)

б) \(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\;+\;\sqrt{3 - \sqrt{5}}.\)

\( a^2 = \bigl(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\bigr)^2 + 2\cdot\sqrt{3 + \sqrt{5}}\cdot\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \bigl(\sqrt{3 - \sqrt{5}}\bigr)^2=\)

\(=3 + \cancel{\sqrt{5}} + 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} + 3 - \cancel{\sqrt{5}}=\)

\( = 6 + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} =\)

\(=6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} =\)

\(=6 + 2\cdot2=6 + 4 = 10. \)

\( a = \sqrt{10}.\)

Ответ: \( a = \sqrt{10}.\)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Разность квадратов:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

3. Если \(a = x^2\), то \(x = \sqrt{a}\).

4. Свойства корня:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);

\((\sqrt{a})^2 = a\).

\( \frac{9 - x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} \;-\; 2=\)

\(= \frac{(3 - x)(3 + x)}{4x} \;\cdot\; \frac{8x}{(x + 3)^2} -2=\)

\(=\frac{(3 - x)\cancel{(3 + x)}\cdot\cancel{8x}  ^2}{\cancel{4x}\cdot (x + 3)^{\cancel{2}}} - 2=\)

\(=\frac{2(3 - x)}{x + 3} - 2 ^{\color{blue}{\backslash{x+3}}} = \)

\(=\frac{2(3 - x)-2(x+3)}{x + 3}=\)

\(=\frac{\cancel6 - 2x-2x-\cancel6}{x + 3}=\)

\(=\frac{-4x}{x + 3}\)

Если \(x = -2{,}5\), то

\( \frac{-4\cdot(-2{,}5)}{-2{,}5 + 3} = \frac{10}{0{,}5}=\frac{100}{5} = 20. \)

Пояснения:

— Порядок действий: сначала выполняем умножение, затем вычитание.

— При выполнении умножения, раскладываем числители и знаменатели дробей на множители, если это возможно. Для этого применили формулу разности квадратов:

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\),

и формулу квадрата суммы:

\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).

— Затем при выполнении умножения сократили дроби:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

— Приведение к общему знаменателю позволяет объединить дробь с вычитанием числа.

— Раскрытие скобок:

\(k(a - b) = ka - kb\);

\(-k(a - b) = -ka + kb\).

— При вычислении значения выражения подставили \(x=-2{,}5\) и выполнили простые арифметические операции.