Упражнение 438 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} - \sqrt{2} =\)

\( =\sqrt{9 + 6\sqrt{2} + 2} - \sqrt{2} =\)

\( =\sqrt{3^2 + 2\cdot3\cdot\sqrt{2} + (\sqrt2)^2} - \sqrt{2} =\)

\(=\sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} -\sqrt{2} =\)

\(=|3 + \sqrt{2}| - \sqrt{2} = \)

\(=3 + \cancel{\sqrt{2}} - \cancel{\sqrt{2}}  = 3\).

б) \( \sqrt{27-5\sqrt{8}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{27-5\sqrt{4\cdot2}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{27 -5\cdot2\sqrt{2}}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{25 -2\cdot5\cdot\sqrt{2} + 2}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{5^2 -2\cdot5\cdot\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}+\sqrt{2}=\)

\(= \sqrt{(5 - \sqrt{2})^2}+\sqrt{2}=\)

\(= |5 - \sqrt{2}|+\sqrt{2}=\)

\(= 5 - \cancel{\sqrt{2}}+\cancel{\sqrt{2}}=5\)

Пояснения:

Использованные формулы:

– Квадрат суммы:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.\)

– Квадрат разности:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2.\)

– Свойства корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = x\), если \(x\geqslant0\);

\(\sqrt{x^2} = |x| = -x\), если \(x\leqslant0\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\).

1) \( (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) =\)

\(=2^2 - (\sqrt{3})^2 =4 - 3 = 1. \)

Числа \(2 - \sqrt{3}\) и \(2 + \sqrt{3}\) являются взаимно обратными.

2) \((2\sqrt{6} - 5) ^{\color{blue}{\backslash{2\sqrt{6} + 5}}} + \frac{1}{2\sqrt{6} + 5}=\)

\(=\frac{(2\sqrt{6} - 5)(2\sqrt{6} + 5)+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)

\(=\frac{(2\sqrt{6})^2 - 5^2+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)

\(=\frac{4\cdot6 - 25+1}{2\sqrt{6} + 5}=\)

\(=\frac{24 - 25+1}{2\sqrt{6} + 5}=\frac{0}{2\sqrt{6} + 5} = 0\)

Числа \(2\sqrt{6} - 5\) и \(\frac{1}{2\sqrt{6} + 5}\) являются противоположные.

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

— Разность квадратов:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2.\)

— Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 = x\).

— Свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

— Если числа \(x\) и \(y\) взаимно обратные, то их произведение равно единице:

\(xy = 1\).

— Если числа \(x\) и \(y\) противоположные, то их сумма равна нулю:

\(x + y= 0\).