Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№433 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Упростите выражение
\(\displaystyle \frac{9 - x^2}{4x} \;\cdot\; \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} \;-\; 2\)
и найдите его значение при \(x = -2{,}5\).
№433 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{4}{\sqrt{3}+1}\);
б) \(\displaystyle \frac{1}{1-\sqrt{2}}\);
в) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\);
д) \(\displaystyle \frac{33}{7-3\sqrt{3}}\);
е) \(\displaystyle \frac{15}{2\sqrt{5}+5}\).
№433 учебника 2023-2025 (стр. 102):
Вспомните:
№433 учебника 2013-2022 (стр. 103):
Вспомните:
№433 учебника 2023-2025 (стр. 102):
\( \frac{9 - x^2}{4x} \cdot \frac{8x}{x^2 + 6x + 9} \;-\; 2=\)
\(= \frac{(3 - x)(3 + x)}{4x} \;\cdot\; \frac{8x}{(x + 3)^2} -2=\)
\(=\frac{(3 - x)\cancel{(3 + x)}\cdot\cancel{8x} ^2}{\cancel{4x}\cdot (x + 3)^{\cancel{2}}} - 2=\)
\(=\frac{2(3 - x)}{x + 3} - 2 ^{\color{blue}{\backslash{x+3}}} = \)
\(=\frac{2(3 - x)-2(x+3)}{x + 3}=\)
\(=\frac{\cancel6 - 2x-2x-\cancel6}{x + 3}=\)
\(=\frac{-4x}{x + 3}\)
Если \(x = -2{,}5\), то
\( \frac{-4\cdot(-2{,}5)}{-2{,}5 + 3} = \frac{10}{0{,}5}=\frac{100}{5} = 20. \)
Пояснения:
— Порядок действий: сначала выполняем умножение, затем вычитание.
— При выполнении умножения, раскладываем числители и знаменатели дробей на множители, если это возможно. Для этого применили формулу разности квадратов:
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\),
и формулу квадрата суммы:
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\).
— Затем при выполнении умножения сократили дроби:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
— Приведение к общему знаменателю позволяет объединить дробь с вычитанием числа.
— Раскрытие скобок:
\(k(a - b) = ka - kb\);
\(-k(a - b) = -ka + kb\).
— При вычислении значения выражения подставили \(x=-2{,}5\) и выполнили простые арифметические операции.
№433 учебника 2013-2022 (стр. 103):
а) \(\frac{4}{\sqrt{3}+1}= \frac{4\cdot\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}+1)\cdot(\sqrt{3}-1)} =\)
\(=\frac{4\cdot\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3})^2-1^2}=\frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} =\)
\(=\frac{^2\cancel{4}(\sqrt{3}-1)}{\cancel{2}_1} = 2(\sqrt{3}-1).\)
б) \(\frac{1}{1-\sqrt{2}}= \frac{1\cdot(1+\sqrt{2})}{(1-\sqrt{2})\cdot(1+\sqrt{2})} =\)
\(=\frac{1\cdot(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{1+\sqrt{2}}{1-2} =\)
\(=\frac{1+\sqrt{2}}{-1} =-\,(1+\sqrt{2}) =\)
\(=-1 - \sqrt{2}.\)
в) \(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\)
\(=\frac{1\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\cdot(\sqrt{x}+\sqrt{y})} =\)
\(=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}.\)
г) \(\frac{a}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\)
\(=\frac{a\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot(\sqrt{a}-\sqrt{b})}=\)
\(=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{(\sqrt{a})^2-(\sqrt{b})^2}=\frac{a(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{a - b} .\)
д) \(\frac{33}{7-3\sqrt{3}}= \frac{33\cdot(7+3\sqrt{3})}{(7-3\sqrt{3})\cdot(7+3\sqrt{3})}=\)
\(=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{7^2-(3\sqrt{3})^2}=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-9\cdot3} =\)
\(=\frac{33(7+3\sqrt{3})}{49-27} =\frac{^3\cancel{33}(7+3\sqrt{3})}{\cancel{22}_2}=\)
\( = \frac{3(7+3\sqrt{3})}{2}.\)
е) \(\frac{15}{2\sqrt{5}+5}= \frac{15\cdot(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5}+5)\cdot(2\sqrt{5}-5)} =\)
\(=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{(2\sqrt{5})^2-5^2}=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{4\cdot5-25} =\)
\(=\frac{15(2\sqrt{5}-5)}{20-25}=\frac{^3\cancel{15}(2\sqrt{5}-5)}{-\cancel{5}_1} = \)
\(=-3(2\sqrt{5}-5) =3(5-2\sqrt{5}) .\)
Пояснения:
Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 = x\).
Противоположные выражения:
\(a - b = - (b-a)\).
Свойство степени:
\(a^nb^n = (ab)^n\).
Сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
Вернуться к содержанию учебника