Упражнение 428 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} =\)

\(=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\)

\(=\frac{\sqrt{5}+2}{1}= \sqrt{5}+2\)

\(2 < \sqrt{5} < 3\)

\(2+2 < \sqrt{5}+2 < 3+2\)

\(4 < \sqrt{5} + 2 < 5\)

Ответ: между числами 4 и 5.

б) \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\)

\(=\frac{2\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} =\)

\(=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} =\)

\(=\frac{\cancel2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\cancel2} =\sqrt{5}+\sqrt{3} \)

1) \(2<\sqrt{5}<3\) и \(1<\sqrt{3}<2\)

\(2 + 1 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3 + 2\)

\(3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\)

2) \(2,2<\sqrt{5}<2,3\) и

\(1,7<\sqrt{3}<1,8\)

\(2,2 + 1,7 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,3 + 1,8\)

\(3,9 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 4,1\)

3) \(2,23<\sqrt{5}<2,24\) и

\(1,73<\sqrt{3}<1,74\)

\(2,23 + 1,73 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,24 + 1,74\)

\(3,96 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3,98\)

Ответ: между числами 3 и 4.

в) \( \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\)

\(=\frac{3\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} =\)

\(=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2} =\)

\(=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} =\frac{\cancel3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{\cancel3}=\)

\(=\sqrt{10}-\sqrt{7} \)

1) \(3<\sqrt{10}<4\)  и  \(2<\sqrt{7}<3\)

                              \(-3<-\sqrt{7}<-2\)

\(3-3<\sqrt{10}-\sqrt{7}<4-2\)

\(0<\sqrt{10}-\sqrt{7}<2\)

2) \(3,1<\sqrt{10}<3,2\)  и 

\(-2,7<-\sqrt{7}<-2,6\)

\(3,1-2,7<\sqrt{10}-\sqrt{7}<3,2-2,6\)

\(0,4<\sqrt{10}-\sqrt{7}<0,6\)

Ответ: между числами 0 и 1.

г) \( \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\)

\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} =\)

\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3})^2-2^2}=\)

\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3})^2-2^2}=\)

\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{-1} =\)

\(=-\bigl(5\sqrt{3}-10 +9 -6\sqrt{3}\bigr) =\)

\(=-(-\sqrt{3}-1) =\sqrt{3}+1. \)

\(1< \sqrt{3} < 2\)

\(1 + 1< \sqrt{3} + 1 < 2 + 1\)

\(2 < \sqrt{3} < 3\)

Ответ: между числами 2 и 3.

Пояснения:

Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения, нужно избавиться от иррациональности в знаменателях данных выражений. Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:

\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);

\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).

Свойство корня:

\((\sqrt{x})^2 =\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}= x\).

Сокращение дробей:

\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).

Затем выразили результат через сумму или разность корней и нашли между какими целыми числами заключено полученное выражение.

а) \(3 + \sqrt{3} =(\sqrt{3})^2 + \sqrt{3}= \)

\(=\sqrt{3}\,\bigl(\sqrt{3} + 1\bigr).\)

б) \(10 - 2\sqrt{10} =(\sqrt{10})^2-2\sqrt{10}= \)

\(=\sqrt{10}\,\bigl(\sqrt{10} - 2\bigr).\)

в) \(\sqrt{x} + x =\sqrt{x} + (\sqrt{x})^2=\)

\(=\sqrt{x}\,\bigl(1 + \sqrt{x}\bigr).\)

г) \(a - 5\sqrt{a}=(\sqrt{a})^2 -5\sqrt{a} =\)

\(=\sqrt{a}\,\bigl(\sqrt{a} - 5\bigr).\)

д) \(\sqrt{a} - \sqrt{2a} =(\sqrt{a})^2 - \sqrt{2}\cdot\sqrt{a}= \)

\(=\sqrt{a}\,\bigl(1 - \sqrt{2}\bigr).\)

е) \(\sqrt{3m} + \sqrt{5m} =\sqrt{3}\cdot\sqrt{m} + \sqrt{5}\cdot\sqrt{m}=\)

\(=\sqrt{m}\,\bigl(\sqrt{3} + \sqrt{5}\bigr).\)

ж) \(\sqrt{14} - \sqrt{7} =\sqrt{2\cdot7} - \sqrt{7}= \)

\(=\sqrt{2}\cdot\sqrt{7} - \sqrt{7}=\sqrt{7}\,\bigl(\sqrt{2} - 1\bigr).\)

з) \(\sqrt{33} + \sqrt{22} =\sqrt{3\cdot11} + \sqrt{2\cdot11} =\)

\(=\sqrt{3}\cdot\sqrt{11} + \sqrt{2}\cdot\sqrt{11} =\)

\(=\sqrt{11}\,\bigl(\sqrt{3} + \sqrt{2}\bigr).\)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

– При разложении на множители используем прием вынесения общего множителя за скобки:

\( ax + bx = (a+b)x. \)

– Свойства корня:

\((\sqrt{a})^2 = a\);

\(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b} \).