Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№425 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) \(\displaystyle \frac{m}{\sqrt{x}}\);
б) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\);
в) \(\displaystyle \frac{3}{5\sqrt{c}}\);
г) \(\displaystyle \frac{a}{2\sqrt{3}}\);
д) \(\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{3}}\);
е) \(\displaystyle \frac{5}{4\sqrt{15}}\).
№425 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Выполните действия:
а) \(\bigl(\sqrt{4 + \sqrt{7}} + \sqrt{4 - \sqrt{7}}\bigr)^2;\)
б) \(\bigl(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\bigr)^2.\)
№425 учебника 2023-2025 (стр. 101):
Вспомните:
№425 учебника 2013-2022 (стр. 102):
Вспомните:
№425 учебника 2023-2025 (стр. 101):
а) \(\frac{m}{\sqrt{x}}= \frac{m\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}} = \frac{m\sqrt{x}}{x}.\)
б) \(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.\)
в) \(\frac{3}{5\sqrt{c}}= \frac{3\cdot\sqrt{c}}{5\sqrt{c}\cdot\sqrt{c}} = \frac{3\sqrt{c}}{5c}.\)
г) \(\frac{a}{2\sqrt{3}}= \frac{a\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}= \frac{a\sqrt{3}}{2\cdot3}=\)
\(=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)
д) \(\frac{3}{2\sqrt{3}}= \frac{3\cdot\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{\cancel{3}\sqrt{3}}{2\cdot\cancel{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
е) \( \frac{5}{4\sqrt{15}}= \frac{5\cdot\sqrt{15}}{4\sqrt{15}\cdot\sqrt{15}} = \frac{^1\cancel{5}\sqrt{15}}{4\cdot\cancel{15}_3} =\)
\(=\frac{\sqrt{15}}{12}.\)
Пояснения:
Основное правило избавления от иррациональности в знаменателе дроби:
Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на подходящий корень, тем самым в знаменателе получается произведение корня на себя, равное подкоренному выражению.
Свойство корня:
\(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x\).
№425 учебника 2013-2022 (стр. 102):
а) \( \bigl(\sqrt{4+\sqrt7} + \sqrt{4-\sqrt7}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{4+\sqrt7}\bigr)^2 + 2\cdot\sqrt{4+\sqrt7}\cdot\sqrt{4-\sqrt7} + \bigl(\sqrt{4-\sqrt7}\bigr)^2=\)
\(=(4+\sqrt7) + 2\sqrt{(4+\sqrt7)(4-\sqrt7)} + (4-\sqrt7)=\)
\(=4+\cancel{\sqrt7} + 2\sqrt{4^2-(\sqrt7)^2} + 4-\cancel{\sqrt7}=\)
\(=8 + 2\sqrt{16-7}=8 + 2\sqrt{9} = \)
\(=8 + 2\cdot3 = 8+ 6 = 14. \)
б) \( \bigl(\sqrt{5+2\sqrt6} - \sqrt{5-2\sqrt6}\bigr)^2 =\)
\(=\bigl(\sqrt{5}+2\sqrt6\bigr)^2 - 2\cdot\sqrt{5+2\sqrt6}\cdot\sqrt{5-2\sqrt6} +\bigl(\sqrt{5}-2\sqrt6\bigr)^2= \)
\(=(5+2\sqrt6) - 2\sqrt{(5+2\sqrt6)(5-2\sqrt6)} + (5-2\sqrt6)=\)
\(=5+\cancel{2\sqrt6} - 2\sqrt{5^2-(2\sqrt6)^2} + 5-\cancel{2\sqrt6}=\)
\(=10 - 2\sqrt{25-4\cdot6} =\)
\(=10 - 2\sqrt{25-24}=10 - 2\sqrt{1} = \)
\(=10 - 2\cdot1 = 10 - 2 = 8. \)
Пояснения:
Использованные формулы и приемы:
– Формула разности квадратов:
\( (a+b)(a-b)=a^2-b^2. \)
– Формулы квадрата суммы и квадрата разности:
\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);
\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
– Свойства корня:
\((\sqrt{a})^2 = a\);
\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\).
– Квадрат произведения:
\(\bigl(k\sqrt{A}\bigr)^2 = k^2A\).
Вернуться к содержанию учебника