Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№435 учебника 2023-2025 (стр. 103):
Площадь кольца вычисляется по формуле \(S = \pi\,(R^2 - r^2)\), где \(R\) — радиус внешнего круга, а \(r\) — радиус внутреннего круга. Выразите \(R\) через \(S\) и \(r\).
№435 учебника 2013-2022 (стр. 104):
Найдите с помощью калькулятора приближенное значение выражения с точностью до 0,01:
а) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}-2}\);
б) \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\);
в) \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}\);
г) \(\displaystyle \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}\)?
№435 учебника 2023-2025 (стр. 103):
Вспомните:
№435 учебника 2013-2022 (стр. 104):
Вспомните:
№435 учебника 2023-2025 (стр. 103):
\(S = \pi\,(R^2 - r^2)\) /\( : \pi\)
\(R^2 - r^2 = \frac{S}{\pi}\)
\(R^2 = \frac{S}{\pi} + r^2.\)
\(R = \sqrt{\frac{S}{\pi} + r^2}.\)
Пояснения:
1. Из исходной формулы выделили \(R^2-r^2\), разделив разность на \(\pi\).
2. Переносом слагаемых получили выражение для \(R^2\).
3. Поскольку \(R\) — радиус, он неотрицателен, поэтому берётся положительный квадратный корень.
№435 учебника 2013-2022 (стр. 104):
а) \( \frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{1\cdot(\sqrt{5}+2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} =\)
\(=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5})^2-2^2}=\frac{\sqrt{5}+2}{5-4}=\)
\(=\frac{\sqrt{5}+2}{1}= \sqrt{5}+2=\)
\(\approx2,24 + 2 = 4,24\)
Ответ: \( 4,24\).
б) \( \frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\)
\(=\frac{2\cdot(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} =\)
\(=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\frac{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} =\)
\(=\frac{\cancel2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{\cancel2} =\sqrt{5}+\sqrt{3} \)
\(\approx 2,24 + 1,73 = 3,97\)
Ответ: \(3,97\).
в) \( \frac{3}{\sqrt{10}+\sqrt{7}}=\)
\(=\frac{3\cdot(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10}+\sqrt{7})(\sqrt{10}-\sqrt{7})} =\)
\(=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2} =\)
\(=\frac{3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{10-7} =\frac{\cancel3(\sqrt{10}-\sqrt{7})}{\cancel3}=\)
\(=\sqrt{10}-\sqrt{7} \approx 3,16 - 2,65 = 0,51\)
Ответ: \(0,51\).
г) \( \frac{5+3\sqrt{3}}{\sqrt{3}+2}=\)
\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3}+2)(\sqrt{3}-2)} =\)
\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3})^2-2^2}=\)
\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{(\sqrt{3})^2-2^2}=\)
\(=\frac{(5+3\sqrt{3})(\sqrt{3}-2)}{-1} =\)
\(=-\bigl(5\sqrt{3}-10 +9 -6\sqrt{3}\bigr) =\)
\(=-(-\sqrt{3}-1) =\sqrt{3}+1= \)
\(\approx 1,73 +1 = 2,73\).
Ответ: \(2,73\).
Пояснения:
Чтобы определить, между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения, нужно избавиться от иррациональности в знаменателях данных выражений. Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножают числитель и знаменатель на такое выражение, которое вместе с выражением, стоящим в знаменателе, образует разность квадратов:
\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\);
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\).
Свойство корня:
\((\sqrt{x})^2 =\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}= x\).
Сокращение дробей:
\(\frac{ka}{kb} = \frac{a}{b}\).
Затем выразили результат через сумму или разность корней и нашли между какими целыми числами заключено полученное выражение.
Вернуться к содержанию учебника