Упражнение 447 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(a + b\) - натуральное число.

б) \(a - b\) натуральное число,

если \(a > b\).

в) \(a b\) натуральное число.

г) \( \frac{a}{b}\) натуральное число, если \(a\) кратно \(b\).

Пояснения:

Правила о свойствах операций над натуральными числами:

— Сумма двух натуральных чисел всегда натуральна.

— Разность натуральных чисел натуральна лишь в том случае, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

— Произведение натуральных чисел всегда натурально.

— Частное натуральных чисел натурально только  тогда, когда числитель делится нацело на знаменатель.

а) \(a = \sqrt{11 + \sqrt{85}}\;-\;\sqrt{11 - \sqrt{85}}\)

\( a^2 = \bigl(\sqrt{11 + \sqrt{85}} - \sqrt{11 - \sqrt{85}}\bigr)^2 =\)

\(= \bigl(\sqrt{11 + \sqrt{85}}\bigr)^2-2\cdot\sqrt{11 + \sqrt{85}}\cdot\sqrt{11 - \sqrt{85}}+\bigl(\sqrt{11 - \sqrt{85}}\bigr)^2=\)

\(=11 + \cancel{\sqrt{85}} - 2\sqrt{(11 + \sqrt{85})(11 - \sqrt{85})} + 11 - \cancel{\sqrt{85}}= \)

\( = 22 - 2\sqrt{11^2 - (\sqrt{85})^2} = \)

\(=22 - 2\sqrt{121 - 85} = 22 - 2\sqrt{36} =\)

\(=22 - 2\cdot6=22 - 12 = 10. \)

\( a = \sqrt{10}.\)

Ответ: \( a = \sqrt{10}.\)

б) \(a = \sqrt{3 + \sqrt{5}}\;+\;\sqrt{3 - \sqrt{5}}.\)

\( a^2 = \bigl(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}}\bigr)^2 =\)

\(=\bigl(\sqrt{3 + \sqrt{5}}\bigr)^2 + 2\cdot\sqrt{3 + \sqrt{5}}\cdot\sqrt{3 - \sqrt{5}} + \bigl(\sqrt{3 - \sqrt{5}}\bigr)^2=\)

\(=3 + \cancel{\sqrt{5}} + 2\sqrt{(3 + \sqrt{5})(3 - \sqrt{5})} + 3 - \cancel{\sqrt{5}}=\)

\( = 6 + 2\sqrt{3^2 - (\sqrt{5})^2} =\)

\(=6 + 2\sqrt{9 - 5} = 6 + 2\sqrt{4} =\)

\(=6 + 2\cdot2=6 + 4 = 10. \)

\( a = \sqrt{10}.\)

Ответ: \( a = \sqrt{10}.\)

Пояснения:

Использованные формулы и приемы:

1. Формула квадрата суммы и квадрата разности:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).

2. Разность квадратов:

\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\).

3. Если \(a = x^2\), то \(x = \sqrt{a}\).

4. Свойства корня:

\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\);

\((\sqrt{a})^2 = a\).