Упражнение 551 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 3a + 0{,}6 = 9a^2 + 0{,}36 \)

\( 3a + 0{,}6 - 9a^2 - 0{,}36=0 \)

\(-9a^2+3a + 0,24 = 0\)

\(9a^2 - 3a - 0{,}24 = 0\)     \(/ : 3\)

\( 3a^2 - a - 0,08 = 0 \)    \(/\times25\)

\(75a^2 - 25a - 2 = 0\)

\(a=75\), \(b=-25\), \(c=-2\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-25)^2 - 4\cdot75\cdot(-2) =\)

\(=625 + 600 = 1225\);    \(\sqrt{D}=35\)

\(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-(-25) + 35}{2\cdot75}=\)

\(=\frac{60}{150} = \frac{2}{5} = 0,4\).

\(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-25) - 35}{2\cdot75}=\)

\( = \frac{-10}{150} = -\frac{1}{15} \).

Ответ: при \(a_1 = 0,4\),  \(a_2 =-\frac{1}{15} \).

б) \( 0{,}4a + 1{,}2 = 0{,}16a^2 + 1{,}44 \)

\( 0{,}4a + 1{,}2 - 0{,}16a^2 - 1{,}44 =0\)

\(0{,}16a^2 - 0{,}4a + 0{,}24 = 0\)   \(/\times100\)

\( 16a^2 - 40a + 24 = 0 \)    \( / : 8\)

\(2a^2 - 5a + 3 = 0\)

\(a=2\), \(b=-5\), \(c=3\).

\(D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot3 =\)

\(=25 - 24 = 1\);    \(\sqrt{D}=1\).

\(a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + 1}{2\cdot2} =\)

\(=\frac{6}{4} = 1{,}5\)

\(a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - 1}{2\cdot2} =\)

\( = \frac{4}{4} = 1\).

Ответ: при \(a_1 = 1,5\),  \(a_2 = 1\).

Пояснения:

Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого, если необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы все коэффициенты стали целочисленными, и переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив знаки на противоположные.

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

а) \( 0{,}7x^2 - 1{,}3x - 2 = 0 \)   \(/\times10\)

\(7x^2 - 13x - 20 = 0\)

\(a=7\), \(b=-13\), \(c=-20\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-13)^2 - 4\cdot7\cdot(-20) =\)

\(=169 + 560 = 729\);    \(\sqrt D = 27\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) + 27}{2\cdot7} =\)

\(=\frac{40}{14} = \frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\)

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-13) - 27}{2\cdot7} =\)

\(= \frac{-14}{14} = -1 \).

Ответ: \(x_1 = 2\frac{6}{7}\),  \(x_2 =-1\).

б) \( 7 = 0{,}4y + 0,2y^2 \)

\(0,2y^2 + 0{,}4y - 7 = 0 \)   \(/\times5\)

\(y^2 + 2y - 35 = 0\)

\(a=1\), \(b=2\), \(c=-35\).

\(D =b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-35) =\)

\(=4 + 140 = 144\),    \(\sqrt D = 12\).

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 12}{2} =\)

\(=\frac{10}{2} =5\).

\(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 12}{2} =\)

\(=\frac{-14}{2} =-7\).

Ответ: \(y_1 = 5\),  \(y_2 =-7\).

в) \( x^2 - 1{,}6x - 0{,}36 = 0\)

\(a=1\), \(b=-1,6\), \(c=-0,36\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-1{,}6)^2 - 4\cdot1\cdot(-0{,}36) =\)

\(=2{,}56 + 1{,}44 = 4\);    \(\sqrt D = 2\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1{,}6) + 2}{2} =\)

\(=\frac{3{,}6}{2} = 1{,}8\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1{,}6) - 2}{2} =\)

\( = \frac{-0{,}4}{2} = -0{,}2 \).

Ответ: \(x_1 =1,8\),  \(x_2 = -0,2\).

г) \( z^2 - 2z + 2{,}91 = 0\)

\(a=1\), \(b=-2\), \(c=-0,36\).

\( D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-2)^2 - 4\cdot1\cdot2{,}91 =\)

\(=4 - 11{,}64 = -7{,}64 < 0\)

Ответ: корней нет.

д) \( 0{,}2y^2 - 10y + 125 = 0 \)    \(/\times5\)

\(y^2 - 50y + 625 = 0\)

\(a=1\), \(b=-50\), \(c=625\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-50)^2 - 4\cdot1\cdot625 =\)

\(=2500 - 2500 = 0\)

\( y =-\frac{b}{2a}= -\frac{-50}{2} = 25\)

Ответ: \(y=25\).

е) \( \frac{1}{3}x^2 + 2x - 9 = 0 \)    \(/\times3\)

\(x^2 + 6x - 27 = 0\)

\(a=1\), \(b=6\), \(c=-27\).

\(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-27) =\)

\(=36 + 108 = 144\);    \(\sqrt D = 12\)

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6 + 12}{2}=\)

\(=\frac{6}{2}= 3\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} =\frac{-6 - 12}{2}=\)

\(=\frac{-18}{2}= -9\).

Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -9\).

Пояснения:

Приводим каждое равенство к стандартному квадратному виду \(ax^2+bx+c=0\). Для этого сначала переносим все слагаемые из правой части уравнения в левую, изменив их знаки на противоположные. Для удобства вычислений там, где это необходимо, умножаем обе части уравнение на такое число, чтобы коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) стали целочисленными. Решаем полученное квадратное уравнение.

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от дискриминанта. Формула дискриминанта:

\(D=b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.