Упражнение 569 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\(p=\dfrac{n(n-3)}{2}\),

где \(p\) - число диагоналей выпуклого многоугольника, \(n\) — число сторон.

Пусть выпуклом многоугольнике \(n\) сторон, тогда число диагоналей

\(p=n + 25\).

Составим уравнение:

\( n+25=\frac{n(n-3)}{2} \)    \(/\times2\)

\( 2(n+25)=n(n-3) \)

\(2n + 50 = n^2 -3n\)

\(2n + 50 - n^2 +3n = 0\)

\(-n^2 + 5n + 50 = 0\)    \(/\times(-1)\)

\( n^2-5n-50=0 \)

\(a=1\), \(b=-5\), \(c=-50\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-5)^2 - 4\cdot1\cdot(-50)=\)

\(=25+200=225\);    \(\sqrt D=15\).

\(n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)+15}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{20}{2}=10\).

\(n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5)-15}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{-10}{2}=5\) - не удовлетворяет условию \((n>0\)\).

Ответ: в десятиугольнике.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая формулу вычисления количества диагоналей, составили уравнение:

\( n+25=\frac{n(n-3)}{2} \).

Обе части уравнения домножили на \(2\), раскрыли скобки, все слагаемые из правой части уравнения перенесли в левую со сменой знаков, привели подобные, домножили обе части уравнения на \(-1\), получили полное квадратное уравнение:

\( n^2-5n-50=0 \)

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Отрицательный корень не подходит, так как количество сторон может быть только натуральным числом. Положительный корень, равный \(10\), говорит о том, что диагоналей на \(25\) больше, чем сторон, в выпуклом десятиугольнике.

Пусть всего было \(x\) обезьян. Тогда \(\left(\frac{1}{8}x\right)^2\) обезьян резвились в лесу, а \(12\) обезьян кричали на вершине холма.

Составим уравнение:

\(\left(\frac{1}{8}x\right)^2+12=x\)

\(\frac{1}{64}x^2+12=x\)     \(/\times64\)

\(x^2+768=64x\)

\(x^2-64x+768=0\)

\(a=1\), \(b=-64\), \(c=768\).

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-64)^2-4\cdot1\cdot768=\)

\(=4096-3072=1024\);     \(\sqrt D=32\).

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{64+32}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{96}{2}=48\).

\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{64-32}{2\cdot1}=\)

\(=\frac{32}{2}=16\).

Ответ: всего \(48\) обезьян или \(16\) обезьян.

Пояснения:

Ввели обозначения. Учитывая условие, составили уравнение:

\(\left(\frac{x}{8}\right)^2+12=x\).

При возведении в квадрат учитывали свойство степени:

\((ab)^n = a^nb^n\).

Выполнили возведение в квадрат, умножили обе части уравнения на \(64\), перенесли слагаемое из правой части уравнения в левую со сменой знака, получили полное квадратное уравнение:

\(x^2-64x+768=0\).

Через дискриминант решили полученное уравнение и нашли два корня. Оба корня удовлетворяют условию задачи.