Упражнение 629 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(4x^{2}-6x+2xy-3y=\)

\(=2x(2x-3)+y(2x-3)=\)

\(=(2x-3)(2x+y)\).

б) \(4a^{3}+2b^{3}-2a^{2}b-4ab^{2}=\)

\(=(4a^{3}-4ab^{2})+(2b^{3}-2a^{2}b)=\)

\(=4a(a^{2}-b^{2})-2b(a^{2}-b^{2})=\)

\(=(4a-2b)(a^{2}-b^{2})=\)

\(=2(2a-b)(a-b)(a+b)\).

Пояснения:

— В пункте а) использована группировка: выделили пары с общим двучленом \((2x-3)\), затем вынесли его как общий множитель.

— В пункте б) сначала сгруппировали члены так, чтобы появился множитель \((a^{2}-b^{2})\), после чего применили формулу разности квадратов \[a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\] и вынесли общий числовой множитель \(2\).

Пусть скорость течения реки \(x\) км/ч.

Составим уравнение:

\( \frac{36}{20-x}+\frac{22}{20+x}=3 \)  \(/\times (20+x)(20-x)\)

ОДЗ: \(20 + x \neq0\)  и  \( 20 - x \neq0\)

          \(x\neq-20\)          \(x \neq 20\)

\(36(20+x)+22(20-x) = 3(20+x)(20-x)\)

\(720 + 36x +440-22x = 3(400 - x^2)\)

\(1160 +14x=1200 - 3x^2\)

\(3x^2 +14x +1160-1200=0\)

\(3x^2 +14x -40=0\)

\(a = 3\),  \(b = 14\),  \(c = -40\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=14^2 -4\cdot3\cdot(-40) =\)

\(=196 +480 = 676\),   \(\sqrt D = 26\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-14+26}{2\cdot3}=\frac{12}{6}=2\).

\( x_2 = \frac{-14-26}{2\cdot3}=-\frac{40}{6}\) - не удовлетворяет условию.

Ответ: скорость течения реки \(2\) км/ч.

Пояснения:

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость.

Если скорость течения равна \(x\) км/ч, то скорость по течению - \(20+x\) км/ч, а против течения -  \(20-x\) км/ч. Тогда время по течению \(\frac{22}{20+x}\), а против течения \(\frac{36}{20-x}\). На весь пути затратили \(3\) ч, значит, получаем следующее дробное рациональное уравнение:

\(\frac{36}{20-v}+\frac{22}{20+v}=3. \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(3x^2 +14x -40=0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 2\) и \(x_2 = -\frac{40}{6}\).

Отрицательный корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательным числом.

Значит, скорость течения реки равна \(2\) км/ч.