Упражнение 633 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}=\dfrac{7x}{x^{2}+1}\)    \(/\times(x^2+1)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.   

\(x^{2}=7x\)

\(x^{2}-7x=0\)

\(x(x-7)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-7=0\)

                       \(x=7\)

Ответ: \(0;   7\).

б) \(\dfrac{y^{2}}{y^{2}-6y}=\dfrac{4(3-2y)}{y(6-y)}\)

\(\dfrac{y^{2}}{-y(6-y)}=\dfrac{4(3-2y)}{y(6-y)}\) \(/\times y(6-y)\)

ОДЗ: \(y\neq0\)  и  \(6-y\neq0\)

                          \(y\neq6\)

\(-y^2 = 12 - 8y\)

\(y^{2}-8y+12=0\)

\(a = 1\),  \(b = -8\),  \(c = 12\)

\(D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4\cdot1\cdot12 =\)

\(=64 - 48 = 16\),   \(\sqrt D = 4\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-8)+4}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6\) - не подходит по ОДЗ.

\( y_2 = \frac{-(-8)-4}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

Ответ: \(2\).

в) \(\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{x+3}{x-4}\) \(/\times(x+2)(x-4)\)

ОДЗ: \(x + 2 \neq0\)  и  \(x - 4 \neq0\)

         \(x\neq-2\)           \(x \neq4\)

\((x-2)(x-4)=(x+3)(x+2)\)

\(x^2-4x-2x+8 = x^2+2x+3x+6\)

\(x^{2}-6x+8=x^{2}+5x+6\)

\(\cancel{x^{2}}-6x-\cancel{x^{2}}-5x=6-8\)

\(-11x=-2\)

\(x=\dfrac{2}{11}\)

Ответ: \(\dfrac{2}{11}\).

г) \(\dfrac{8y-5}{y}=\dfrac{9y}{y+2}\)   \(/\times y(y+2)\)

ОДЗ: \(y\neq0\)  и  \(y +2 \neq0\)

                         \(y\neq-2\)

\((8y-5)(y+2)=9y^{2}\)

\(8y^2+16y-5y-10-9y^2=0\)

\(-y^{2}+11y-10=0\)   \(/\times (-1)\)

\(y^{2}-11y+10=0\)

\(a = 1\),  \(b = -11\),  \(c = 10\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-11)^2 - 4\cdot1\cdot10 =\)

\(=121 - 40 = 81\),   \(\sqrt D = 9\).

\( y_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( y_1 = \frac{-(-11)+9}{2\cdot1}=\frac{20}{2}=10\).

\( y_2 = \frac{-(-11)-9}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

Ответ: \(10;   1\).

д) \(\dfrac{x^{2}+3}{x^{2}+1}=2\)     \(/\times(x^2+1)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.

\(x^{2}+3=2(x^{2}+1)\)

\(x^{2}+3=2x^{2}+2\)

\(x^{2}+3-2x^{2}-2=0\)

\(-x^2 + 1 = 0\)

\(x^{2}=1\)

\(x_{1,2} = \pm\sqrt1\)

\(x=\pm1.\)

Ответ: \(-1;   1\).

е) \(\dfrac{3}{x^{2}+2}=\dfrac{1}{x}\)     \(/\times (x^2+2)\)

ОДЗ: \(x\) - любое число.

\(3x=x^{2}+2\)

\(x^{2}-3x+2=0\)

\(a = 1\),  \(b = -3\),  \(c = 2\)

\(D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot2 =\)

\(=9 - 8 = 1\),   \(\sqrt D = 1\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+1}{2\cdot1}=\frac{4}{2}=2\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-1}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\).

Ответ: \(2;   1\).

ж) \(x+2=\dfrac{15}{4x+1}\)    \(/\times (4x+1)\)

ОДЗ: \(4x + 1 \neq0\)

         \(4x \neq-1\)

         \(x\neq-\frac14\).

\((x+2)(4x+1)=15\)

\(4x^2 + x+8x+2 -15 = 0\)

\(4x^{2}+9x-13=0\)

\(a = 4\),  \(b = 9\),  \(c = -13\)

\(D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4\cdot4\cdot(-13) =\)

\(=81+ 208 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-9+17}{2\cdot4}=\frac{8}{8}=1\).

\( x_1 = \frac{-9-17}{2\cdot4}=\frac{-26}{8}=\)

\(=-\frac{13}{4}=-3\frac{1}{4}\).

Ответ: \(1;   -3\frac{1}{4}\).

з) \(\dfrac{x^{2}-5}{x-1}=\dfrac{7x+10}{9}\)  \(/\times 9(x-1)\)

ОДЗ: \(x - 1 \neq0\)

         \(x\neq1\)

\(9(x^{2}-5)=(7x+10)(x-1)\)

\(9x^{2}-45=7x^{2}+10x-7x-10\)

\(9x^{2}-45-7x^{2}-10x+7x+10=0\)

\(2x^{2}-3x-35=0\)

\(a = 2\),  \(b = -3\),  \(c = -35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-35) =\)

\(=9 + 280 = 289\),   \(\sqrt D = 17\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-3)+17}{2\cdot2}=\frac{20}{4}=5\).

\( x_2 = \frac{-(-3)-17}{2\cdot2}=\frac{-14}{4}=\)

\(=-\frac{7}{2}=-3,5\).

Ответ: \(5;   -3,5\).

---

Пояснения:

Алгоритм решения уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

Решение целых уравнений:

1) Полное квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c=0\), которое решается через дискриминант \(D = b^2-4ac\).

– если \(D>0\), то уравнение имеет два корня:

\(x_1 =\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\);

\(x_2 =\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\).

– если \(D=0\), то уравнение имеет один корень:

\(x =-\frac{b}{2a}\).

– если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

2) Неполное квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx = 0\), которое решается разложением на множители, учитывая то, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3) Линейное уравнение вида \(ax = b\), которое при \(a\neq0\) имеет единственный корень \(x = \frac{b}{a}\).

Раскрытие скобок:

\(a(b + c) = ab + ac\);

\((a + b)(c -d) = ac - ad + bc -bd\).

Пусть второй автомат выполняет работу за \(x\) ч, тогда первый автомат— за \(x+2\) ч. Значит, скорость работы второго автомата \(\frac{1}{x}\), а первого - \(\frac{1}{x+2}\).

Время совместной работы двух автоматов на изготовление деталей

\(2\text{ ч }55\text{ мин}= \dfrac{175}{60}=\dfrac{35}{12}\text{ ч}\).

Составим уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1 : \frac{35}{12} \)

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}= \frac{12}{35} \)  \(/\times 35x(x + 2)\)

ОДЗ: \(x \neq0\)  и  \( x + 2 \neq0\)

                          \(x \neq -2\)

\(35(x+2) +35x = 12x(x+2)\)

\(35x+70 + 35x = 12x^2 +24x\)

\(70x+70 = 12x^2 +24x\)

\(12x^2 + 24x - 70x - 70 = 0\)

\(12x^2 - 46x - 70 = 0\)   \(/ : 2\)

\(6x^2 - 23x -35 = 0\)

\(a = 6\),  \(b = -23\),  \(c =-35\)

\(D = b^2 - 4ac =\)

\(=(-23)^2 - 4\cdot6\cdot(-35)=\)

\(=529+840 =1369\),    \(\sqrt D = 37\).

\( x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}\).

\( x_1 = \frac{-(-23)+37}{2\cdot6}=\frac{60}{12}=5\).

\( x_2 = \frac{-(-23)-37}{2\cdot6}=\frac{-14}{12}=-\frac76\) - не удовлетворяет условию.

1) \(5\) (ч) - время работы второго автомата.

2) \(5 + 2 = 7\) (ч) - время работы первого автомата.

Ответ: за \(7\) ч.

---

Пояснения:

Скорость работы равна доле работы за час. При одновременной работе скорости складываются. Поэтому можем составить следующее дробное рациональное уравнение:

\( \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=1 : \frac{35}{12} \)

Алгоритм решения дробного рационального уравнений:

1) найти ОДЗ (область допустимых значений), то есть те значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые совпадают с ОДЗ.

После того как обе части уравнения домножили на общий знаменатель и выполнили преобразования, получили полное квадратное уравнение

\(6x^2 - 23x -35 = 0\), у которого дискриминант больше нуля, следовательно, имеем два корня уравнения:

\(x_1 = 5\) и \(x_2 = -\frac76\).

Отрицательный корень не подходит, так как время не может быть отрицательным числом.

Значит, за 5 ч это количество деталей мог бы изготовить второй автомат.

Первому автомату требуется на \(2\) ч больше, чем второму, значит, первому автомату потребуется:

\(5 + 2 = 7\) (ч).