Упражнение 948 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(\dfrac{2x}{5} > 1 \)   \(/\times 5\)

\(2x > 5 \)    \(/ : 2\)

\(x > \dfrac{5}{2}\).

\(x > 2,5\)

Ответ: \((2,5; +\infty)\).

б) \(\dfrac{x}{3} < 2 \)    \(/\times 3\)

\(x < 6\).

Ответ: \((-\infty; 6)\).

в) \(\dfrac{6x}{7} \geq 0\)    \(/\times 7\)

\(6x \geq 0\)     \(/ : 6\)

\(x \geq 0\)

Ответ: \([0; +\infty)\).

г) \(\dfrac{3x - 1}{4} > 2\)    \(/\times 4\)

\(3x - 1 > 8 \)

\(3x > 8 + 1 \)

\(3x > 9\)    \(/ : 3\)

\(x > 3\).

Ответ: \((3; +\infty)\).

д) \(2 > \dfrac{6 - x}{5} \)   \(/\times 5\)

\(10 > 6 - x \)

\(x > 6 - 10\)

\(x > -4\).

Ответ: \((-4; +\infty)\).

е) \(\dfrac{2 + 3x}{18} < 0 \)   \(/\times 18\)

\(2 + 3x < 0 \)

\(3x < -2\)    \(/ : 3\)

\(x < -\dfrac{2}{3}\).

Ответ: \((-\infty; -\dfrac{2}{3})\).

ж) \(\dfrac{12 - 7x}{42} \geq 0 \)   \(/\times 42\)

\(12 - 7x \geq 0\)

\(-7x \geq -12\)    \(/ : (-7)\)

\(x \leq \dfrac{12}{7}\)

\(x \leq 1\dfrac{5}{7}\)

Ответ: \((-\infty; 1\dfrac{5}{7}]\).

з) \(\dfrac{1}{3}(x + 15) > 4 \)   \(/\times 3\)

\(x + 15 > 12 \)

\(x > 12 - 15 \)

\(x > -3\).

Ответ: \((-3; +\infty)\).

и) \(6 \leq \dfrac{2}{7}(x + 4) \)  \(/\times 7\)

\(42 \leq 2(x + 4) \)

\(42 \leq 2x + 8 \)

\(34 \leq 2x \)    \( / : 2\)

\(17 \leq x\)

\(x \geq 17\).

Ответ: \([17; +\infty)\).

Пояснения:

Сначала в каждом неравенстве избавляемся от знаменателей, домножив неравенство на знаменатель дроби, входящей в него, учитывая то, что если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(|2m - 16| = 2m - 16\)

\(2m - 16 \ge 0\)

\(2m \ge 16\)   \(/ : 2\)

\(m \ge 8\)

Ответ: при \(m \in [8; +\infty)\).

б) \(\dfrac{|12 - 6m|}{12 - 6m} = 1\)

ОДЗ: \(12 - 6m\neq 0\)

\(12 - 6m > 0\)

\(-6m > -12\)   \(/ : (-6)\)

\(m < 2\)

Ответ: при \(m \in (-\infty; 2)\).

в) \(|m + 6| = -m - 6 = -(m+6)\)

\(m + 6 \le 0 \)

\(m \le -6\)

Ответ: при \(m \in (-\infty; -6]\).

г) \(\dfrac{|10m - 35|}{10m - 35} = -1\)

ОДЗ: \(10m - 35 \neq 0 \)

\(10m - 35 < 0 \)

\(10m < 35 \)

\(m < \frac{35}{10} \)

\(m < 3{,}5\)

Ответ: при \(m \in (-\infty; -3,5)\).

Пояснения:

Основные свойства модуля:

1) \(|A| = A\), если \(A \ge 0\).

2) \(|A| = -A\), если \(A < 0\).

3) \(\dfrac{|A|}{A} = 1\), если \(A > 0\);

\(\dfrac{|A|}{A} = -1\), если \(A < 0\).

При решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

В пунктах а) и в) рассматриваем нестрогий знак неравенства, а в пунктах б) и г) строгий, так как знаменатель не может быть равен нулю.