Упражнение 946 - ГДЗ Алгебра 8 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(0,2x^2 - 0,2(x - 6)(x + 6) > 3,6x\)

\(0,2x^2 - 0,2(x^2 - 36) > 3,6x \)

\(\cancel{0,2x^2} - \cancel{0,2x^2} + 7,2 > 3,6x\)

\(7,2 > 3,6x \)

\(3,6x < 7,2\)   \( : 3,6\)

\(x < 2\)

Ответ: \((-\infty; 2)\).

б) \((2x - 5)^2 - 0,5x < (2x - 1)(2x + 1) - 15\)

\(4x^2 - 20x + 25 - 0,5x < 4x^2 - 1 - 15 \)

\(4x^2 - 20,5x + 25 < 4x^2 - 16 \)

\(\cancel{4x^2} - 20,5x -\cancel{4x^2} < - 16 - 25 \)

\(-20,5x < -41 \)    \(/ : (-20,5)\)

\(x > 2\).

Ответ: \((2; +\infty)\).

в) \((12x - 1)(3x + 1) < 1 + (6x + 2)^2\)

\(36x^2 + 9x - 12x + -1 < 1 + 36x^2 + 24x + 4\)

\(36x^2 - 9x - 1 < 36x^2 + 24x + 5 \)

\(\cancel{36x^2} - 9x - \cancel{36x^2} - 24x < 5 + 1 \)

\(-33x < 6 \)    \(/ : (-33)\)

\(x > -\frac{6}{33}\)

\(x > -\frac{2}{11}\).

Ответ: \((-\frac{2}{11}; +\infty)\).

г) \((4y - 1)^2 > (2y + 3)(8y - 1)\)

\(16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 - 2y + 24y - 3 \)

\(16y^2 - 8y + 1 > 16y^2 + 22y - 3 \)

\(\cancel{16y^2} - 8y - \cancel{16y^2} - 22y > - 3 - 1 \)

\( -30y > -4 \)    \(/ : (-30)\)

\(y < \frac{4}{30}\)

\(y < \frac{2}{15}\).

Ответ: \((-\infty; \frac{2}{15})\).

Пояснения:

При решении неравенств сначала раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые.

При раскрытии скобок используем следующие приемы и формулы:

- разность квадратов двух выражений:

\((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\);

- квадрат суммы двух выражений:

\((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\);

- умножение многочлена на многочлена:

\((a + b)(c-d) = ac - ad + bc - bd\);

- свойство степени:

\(a^2b^2 = (ab)^2\).

Затем при решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.

а) \(3x = 9a \)

\(x = 3a\)

\(3a > 0\)    \(/ : 3\)

\(a > 0\)

Ответ: при \(a \in (0; + \infty)\).

б) \(x + 2 = a \)

\(x = a - 2\)

\(a - 2 > 0\)

\(a > 2\)

Ответ: при \(a \in (2; + \infty)\).

в) \(x - 8 = 3a + 1\)

\(x = 3a + 1 + 8\)

\(x = 3a + 9\)

\(3a + 9 > 0\)

\(3a > -9\)   \(/ : 3\)

\(a > -3\)

Ответ: при \(a \in (-3; + \infty)\).

г) \(2x - 3 = a + 4 \)

\(2x = a + 4 + 3 \)

\(2x = a + 7 \)   \(/ : 2\)

\(x = \frac{a + 7}{2}\)

\( \frac{a + 7}{2} > 0\)   \(/\times 2\)

\(a + 7 > 0\)

\(a > -7\)

Ответ: при \(a \in (-7; + \infty)\).

Пояснения:

Основные правила.

- Сначала в каждом уравнении выражаем \(x\):

Если \(kx = m\), то \(x = \frac{m}{k}\) при \(k \ne 0.\)

- Чтобы уравнение имело положительный корень, найденное выражение для \(x\) должно удовлетворять условию \(x > 0\), то есть получается неравенство относительно \(a\), которое нужно решить.

При решении неравенств используем то, что:

- если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится равносильное ему неравенство;

- если обе части неравенства разделить или умножить на одно и то же положительное число, то получится равносильное ему неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(-\infty\) и \(+\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.