Упражнение 313 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 104

а) \(x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} = -\sqrt{5 - x} - 30\)

ОДЗ:  \(5 - x \ge 0\)

          \(-x \ge -5\)  \(/\times (-1)\)

            \(x \le 5\)

\(x^2 - 13x - \cancel{\sqrt{5 - x}} + \cancel{\sqrt{5 - x}} + 30 = 0\)

\(x^2 - 13x + 30 = 0\)

\(D = (-13)^2 - 4\cdot1\cdot30=\)

\(= 169 - 120 = 49 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt{49} = 7\).

\(x_1 = \frac{13 + 7}{2\cdot1} = \frac{20}{2} = 10\) - не удовлетворяет ОДЗ.

\(x_2 = \frac{13 - 7}{2\cdot1} = \frac{6}{2} = 3\).

Ответ: \(x = 3\).

Пояснения:

Используемые правила:

1. Чтобы уравнение с корнями имело смысл, требуется область допустимых значений переменной \(x\) (ОДЗ): подкоренное выражение не может быть отрицательно, то есть \[ 5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5. \]

2. Если в уравнении одинаковые выражения находятся по обе стороны знака равенства, их можно перенести и сократить.

3. Квадратное уравнение вида \[ ax^2 + bx + c = 0 \] решается через дискриминант:

\(D = b^2 - 4ac\).

Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}\).

Пояснение решения:

В уравнении присутствует \(-\sqrt{5 - x}\) слева и справа. Переносим выражение из правой части уравнения влево: \[ x^2 - 13x - \sqrt{5 - x} + \sqrt{5 - x} + 30 = 0. \] Корни сокращаются, остаётся: \[ x^2 - 13x + 30 = 0. \]

Через дискриминант решаем полученное квадратное уравнение и находим корни \(3\) и \(10\).

Проверяем подходят ли корни области допустимых значений (ОДЗ). Число \(10\) не удовлетворяет ОДЗ, поэтому уравнение имеет единственный верный корень: \[ x = 3. \]