Вернуться к содержанию учебника
Докажите, что если число \(m\) является корнем уравнения \[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0, \] где \(a, b, c\) — некоторые числа, причём \(a \ne 0\), то обратное ему число также является корнем этого уравнения.
Вспомните:
\[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a = 0, \]
где \(a, b, c\) — некоторые числа, \(a \ne 0\),
\(m\) — корень данного уравнения, т.е.
\( a m^{4} + b m^{3} + c m^{2} + b m + a = 0\) - верное равенство.
\(\dfrac{1}{m}\) - обратное число.
\( a\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{4} + b\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{3} + c\cdot\left(\frac{1}{m}\right)^{2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)
\(a\cdot\frac{1}{m^4} + b\cdot\frac{1}{m^3} + c\cdot\frac{1}{m^2} + b\cdot\frac{1}{m} + a = 0\)\(/\times m^4\)
\(a+bm + cm^2 + bm^3 + am^4=0\) - верное равенство, значит, \(\dfrac{1}{m}\) является корнем уравнения.
Что и требовалось доказать.
Пояснения:
Число \(m\) — корень уравнения
\(P(x)=0\), если подстановка \(x=m\) обращает многочлен \(P(x)\) в ноль: \[ P(m)=0. \]
Уравнение \[ ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + bx + a=0 \] называется возвратным: коэффициенты при \(x^{4}\) и \(x^{0}\) равны (\(a\) и \(a\)), при \(x^{3}\) и \(x^{1}\) равны (\(b\) и \(b\)); «симметричность» по степеням.
Чтобы проверить, является ли \(\dfrac{1}{m}\) корнем, мы подставляем его в уравнение. Возникают дроби с разными степенями \(m\), но все их можно привести к общему знаменателю \(m^{4}\) и домножить равенство на \(m^4\), учитывая то, что \(m\) не равно нулю, так как для него существует обратное число. При этом после умножения равенства на \(m^4\) получается то же самое равенство, что и при подстановке \(x=m\), только записанным в обратном порядке, которое является верным по условию. Тем самым доказано: если число \(m\) — корень возвратного уравнения четвёртой степени с ненулевым коэффициентом при старшей и свободной степени, то обратное ему число \(\dfrac{1}{m}\) тоже является его корнем.
Вернуться к содержанию учебника