Вернуться к содержанию учебника
Решите уравнение:
а) \(718x^{4} - 717x^{2} - 1 = 0\);
б) \(206x^{4} - 205x^{2} - 1 = 0\).
Вспомните:
а) \( 718x^{4} - 717x^{2} - 1 = 0\)
Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)
\( 718t^{2} - 717t - 1 = 0\)
\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.
Если \(t = 1\), то
\( 718\cdot1^{2} - 717\cdot1 - 1 = 0\)
\(0 = 0\) - верно.
\(t = 1\) - корень уравнения.
По теореме Виета:
\(1\cdot t_2= -\frac{1}{718}\)
\(t_2= -\frac{1}{718}\)
1) Если \(t = 1\), то
\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\)
2) Если \(t= -\frac{1}{718}\), то
\(x^2 =-\frac{1}{718}\) - не имеет корней.
Ответ: \(x = \pm1\).
б) \( 206x^{4} - 205x^{2} - 1 = 0\)
Пусть \(x^{2} = t,\quad t \ge 0. \)
\(206t^{2} - 205t - 1 = 0\)
\(1\) и \(-1\) - делители свободного члена.
Если \(t = 1\), то
\(206\cdot1^{2} - 205\cdot1 - 1 = 0\)
\(0 = 0\) - верно.
\(t = 1\) - корень уравнения.
По теореме Виета:
\(1\cdot t_2= -\frac{1}{206}\)
\(t_2= -\frac{1}{206}\)
1) Если \(t = 1\), то
\(x^2 = 1, \Rightarrow x = \pm1\).
2) Если \(t = -\frac{1}{206}\), то
\(x^2 = -\frac{1}{206}\) - не имеет корней.
Ответ: \(x = \pm1\).
Пояснения:
Биквадратное уравнение имеет вид \(ax^{4} + bx^{2} + c = 0\). Замена \(t = x^{2}\) превращает его в обычное квадратное уравнение. Далее при решении уравнения используем то, что если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента), то есть по свободному члену подбираем один из целых корней уравнения. Затем применяем теорему Виета, согласно которой для уравнения \(at^2 + bt + c = 0\) выполняется равенство:
\(t_1 \cdot t_2 = \frac ca\),
откуда находим второй корень уравнения.
Далее возвращаемся к переменной \(x\) и решаем уравнения вида
\(x^2 = t\), учитывая то, что \(t\ge0\), и получаем \(x = \pm \sqrt t\)
Вернуться к содержанию учебника