Вернуться к содержанию учебника
Известно, что график функции \[ y = x^{4} - ax^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 \] пересекает ось \(x\) в точке \((4;\,0)\). Найдите \(a\) и координаты других точек пересечения графика функции с осью \(x\).
Введите текст
1) Найдём параметр \(a\).
Если \((4;\,0)\) — точка пересечения с осью \(x\), то при \(x = 4\) функция равна нулю:
\[ 4^{4} - a\cdot4^{3} - 10\cdot4^{2} + 80\cdot4 - 96 = 0. \]
Вычислим шаг за шагом:
\(4^{4} = 256,\quad 4^{3} = 64,\quad 4^{2} = 16.\)
\[ 256 - 64a - 160 + 320 - 96 = 0. \]
Выполним сложение числовых частей:
\(256 - 160 = 96,\quad 96 + 320 = 416,\quad 416 - 96 = 320.\)
Получается:
\[ 320 - 64a = 0. \]
Отсюда:
\[ 64a = 320,\quad a = 5. \]
2) Подставляем найденное \(a = 5\) в функцию.
\[ y = x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96. \]
Мы знаем, что \(x = 4\) — корень, значит \((x - 4)\) — множитель.
3) Делим многочлен на \((x - 4)\).
Выполним деление (результат уже упрощён):
\[ x^{4} - 5x^{3} - 10x^{2} + 80x - 96 = (x - 4)(x^{3} - x^{2} - 14x + 24). \]
4) Ищем корни кубического многочлена.
Пробуем целые делители 24: \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm12,\pm24.\)
Проверим \(x = 2\):
\[ 2^{3} - 2^{2} - 14\cdot2 + 24 = 8 - 4 - 28 + 24 = 0. \]
Значит, \(x = 2\) — корень.
Делим на \((x - 2)\):
\[ x^{3} - x^{2} - 14x + 24 = (x - 2)(x^{2} + x - 12). \]
5) Разложим квадратный множитель.
\[ x^{2} + x - 12 = (x + 4)(x - 3). \]
6) Составим полное разложение.
\[ y = (x - 4)(x - 2)(x + 4)(x - 3). \]
Значит, все корни:
\[ x = 4,\quad x = 2,\quad x = -4,\quad x = 3. \]
Точки пересечения с осью \(x\):
\[ (4,0),\quad (2,0),\quad (-4,0),\quad (3,0). \]
Пояснения:
1. Если точка \((x_0,0)\) лежит на графике, то \(x_0\) — корень уравнения \(y=0\), значит подстановка даёт уравнение для параметра.
2. После нахождения параметра многочлен разлагают, используя известный корень.
3. Кубический множитель дальше раскладывают либо подбором корней, либо группировкой.
4. Все найденные корни дают координаты точек пересечения графика с осью \(x\).
Вернуться к содержанию учебника