Упражнение 304 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 103

1) С осью \(y\):  \(x = 0\).

\[ y = 0^{3} + 4\cdot 0^{2} + 0 - 6 = -6. \]

\( (0;\,-6)\) - точка пересечения с осью \(y\).

2) С осью \(x\):  \(y = 0\).

\( x^{3} + 4x^{2} + x - 6 = 0\)

\(\pm1;\, \pm2;\, \pm3;\, \pm6\) - делители числа 2.

Если \(x = 1\), то

\( 1^{3} + 4\cdot1^{2} + 1 - 6 = 0\)

\( 1 + 4 + 1 - 6 = 0\)

\(0 = 0\) - верно.

\(x = 1\) — корень уравнения.

\( x^{3} + 4x^{2} + x - 6 = (x - 1)(x^{2} + 5x + 6)\)

\( (x - 1)(x^{2} + 5x + 6)=0\)

\(x^{2} + 5x + 6=0\)

\(D = 5^2 - 4\cdot1\cdot 6 = \)

\(= 25 - 24 = 1 > 0\) - 2 корня.

\(\sqrt1 = 1\).

\(x_1 = \frac{-5 + 1}{2\cdot1} = \frac{-4}{2} = -2\).

\(x_1 = \frac{-5 - 1}{2\cdot1} = \frac{-6}{2} = -3\).

Корни уравнения:

\( x = 1,\quad x = -2,\quad x = -3. \)

\( (1;\,0),\, (-2;\,0),\, (-3;\,0)\) - точки пересечения с осью \(x\).

Пояснения:

1. Пересечение с осью \(Oy\)

Чтобы найти точку на оси \(Oy\), всегда подставляем \(x = 0\). Значение функции и будет координатой \(y\).

2. Пересечение с осью \(Ox\)

Чтобы найти точки пересечения с \(Ox\), нужно решить уравнение \(y = 0\). В данном случае это кубическое уравнение. Если многочлен имеет целый корень, то он является делителем свободного члена (последнего числового коэффициента). Поэтому для уравнений с целыми коэффициентами удобно проверять несколько простых значений \(x\) (например, \(\pm1, \pm2, \pm3,\dots\)). Найденное значение, при котором многочлен обращается в ноль, даёт линейный множитель \((x - x_0)\).

После нахождения корня \(x_0\) мы делим многочлен на \((x - x_0)\) (столбиком) и получаем многочлен меньшей степени. Процесс можно повторять, пока степень не станет 2, а затем решить квадратное уравнение стандартными способами (формула дискриминанта, разложение на множители).

Квадратное уравнение \(ax^{2} + bx + c = 0\) решается через дискриминант \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то уравнение имеет 2 корня:

\[ x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]