Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№299 учебника 2023-2026 (стр. 98):
Напишите уравнение прямой, которая:
а) проходит через начало координат и точку \(A(0{,}6;\,-2{,}4)\);
б) пересекает оси координат в точках \(B(0;\,4)\) и \(C(-2{,}5;\,0)\).
№299 учебника 2014-2022 (стр. 86):
(Задача-исследование.) Существует ли такое положительное число, при сложении которого с числом, ему обратным, получится сумма, в 13 раз меньшая суммы кубов этих чисел?
1) Обсудите, значения каких выражений сравниваются, и составьте соответствующее уравнение.
2) Введите новую переменную и решите полученное уравнение.
3) Для каждого из найденных значений вычислите корень составленного уравнения.
4) Выберите значения корней, соответствующие условию задачи.
№299 учебника 2023-2026 (стр. 98):
Вспомните:
№299 учебника 2014-2022 (стр. 86):
Вспомните:
№299 учебника 2023-2026 (стр. 98):
а) \(A(0{,}6;\,-2{,}4)\)
\(y = kx\)
\(-2,4 = k\cdot 0,6\)
\(k = \frac{-2,4}{0,6}\)
\(k = -\frac{24}{6}\)
\(k = - 4\)
\( y = -4x\)
Ответ: \( y = -4x\).
б) \(B(0;\,4)\) и \(C(-2{,}5;\,0)\)
\(y = kx + b\)
\(\begin{cases} 4 = k \cdot 0 + b, \\ 0 = k\cdot(-2,5) + b \end{cases}\)
\(\begin{cases} 4 = b, \\ 0 = -2,5k + 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 4, \\ 2,5k = 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 4, \\ k = \frac{4}{2,5} \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 4, \\ k = \frac{40}{25} \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 4, \\ k = \frac{8}{5} \end{cases}\)
\(\begin{cases} b = 4, \\ k = 1,6 \end{cases}\)
\( y = 1{,}6x + 4\)
Ответ: \( y = 1{,}6x + 4\).
Пояснения:
Если прямая проходит через начало координат, то она имеет вид:
\[ y = kx. \]
Если прямая проходит через точку \((0;b)\), то уравнение имеет вид:
\[ y = kx + b. \]
В пункте а), чтобы написать уравнение прямой, нужно найти коэффициент \(k\). Для этого подставляем координаты точки \(A(0{,}6;\,-2{,}4)\) в уравнение \( y = kx\) и решаем уравнение относительно \(k\).
В пункте б), чтобы написать уравнение прямой, нужно найти коэффициенты \(k\) и \(b\). Для этого подставляем координаты точек \(B(0;\,4)\) и \(C(-2{,}5;\,0)\) в уравнение \( y = kx + b\) и составляем систему уравнений с двумя переменными \(k\) и \(b\), которую решаем способом подстановки.
№299 учебника 2014-2022 (стр. 86):
Пусть \(x\) - искомое число (\(x>0\)). Тогда обратное ему число равно \(\dfrac{1}{x}\). Известно, что сумма этих чисел в 13 раз меньше суммы их кубов.
Составим уравнение:
\( 13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}\)
Пусть \( x + \frac{1}{x}=t > 0 \), так как \(x > 0,\) тогда
\( \left(x + \frac{1}{x}\right)^3=t^3 \)
\( x^3+3x^{\cancel2}\cdot\frac{1}{\cancel x} + 3 \cancel x\cdot\frac{1}{x^{\cancel2}} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)
\( x^3+3x + 3\cdot\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}=t^3 \)
\( x^3+3(x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^3}=t^3 \)
\( x^3+3t + \frac{1}{x^3}=t^3 \)
\( x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t. \)
\( 13t = t^{3} - 3t\)
\( t^{3} - 3t - 13t = 0\)
\(t^{3} - 16t = 0\)
\( t(t^{2} - 16) = 0\)
\( t(t- 4)(t + 4) = 0\)
или \( t = 0\) - не удовлетворяет условию,
или \(t - 4 = 0\)
\(t = 4,\)
или \(t + 4 = 0\)
\(t = -4\) - не удовлетворяет условию.
Если (t = 4\), то
\( x + \frac{1}{x} = 4\) \(/\times x\):
\( x^{2} + 1 = 4x \)
\(x^{2} - 4x + 1 = 0\)
\(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 1\)
\( D =b^2 - 4ac =\)
\(=(-4)^{2} - 4\cdot1\cdot1 =\)
\(=16 - 4 = 12 > 0\) - 2 корня.
\(\sqrt D = \sqrt{12} = \sqrt{4\cdot3} = 2\sqrt3.\)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt D}{2a}=\)
\(= \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2\cdot1} = \frac{\cancel2(2 \pm \sqrt{3})}{\cancel2} = 2 \pm \sqrt{3}. \)
\( 2 + \sqrt{3} > 0,\)
\(2 - \sqrt{3} > 0. \)
Ответ: \( x = 2 + \sqrt{3}\) и \(x = 2 - \sqrt{3}. \)
Пояснения:
1. Мы сравниваем два выражения:
— сумму числа и числа, ему обратного: \(\;x + \dfrac{1}{x}\);
— сумму кубов этих чисел: \(\;x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}}\).
Условие «сумма в 13 раз меньше» переводится в равенство:
\(13\left(x + \frac{1}{x}\right) = x^{3} + \frac{1}{x^{3}}. \)
2. Чтобы упростить уравнение, введена новая переменная \[ t = x + \frac{1}{x}. \] Тогда имеем формулу \[ x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = t^{3} - 3t, \] которая получается возведением в куб равенства \(t = x + \dfrac{1}{x}\) и приведением подобных членов.
3. После подстановки получаем уравнение \(t^{3} - 16t = 0\), которое раскладывается на множители вынесением общего множителя за скобки применением формулы разности квадратов: \[ t(t - 4)(t+4) = 0. \] Отсюда \(t = 0, 4, -4\). Анализируя смысл \(t = x + \dfrac{1}{x}\) при \(x > 0\) (эта сумма всегда положительна и не равна нулю), оставляем только \(t = 4\).
4. Возвращаясь к \(x\), решаем уравнение
\[ x + \frac{1}{x} = 4 \).
Домножив это уравнение на \(x\), получаем квадратное уравнение:
\[x^{2} - 4x + 1 = 0. \]
Решив уравнение через дискриминант получаем два положительных корня \(2 \pm \sqrt{3}\). Оба удовлетворяют и исходному равенству, и требованию «положительное число», поэтому в ответе записываем оба значения.
Вернуться к содержанию учебника