Упражнение 294 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

а) \(\dfrac{x-5}{x+6}<0\)

\((x-5)(x+6)<0\)

\((x-5)(x+6)=0\)

\(x - 5 = 0\)   или   \(x + 6 = 0\)

\(x = 5\)                   \(x = - 6\)

Ответ: \(x \in (-6; 5)\).

б) \(\dfrac{1{,}4-x}{x+3{,}8}<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)<0\)

\((1{,}4-x)(x+3{,}8)=0\)

\(1{,}4-x = 0\)   или   \(x + 3,8 = 0\)

\(x=1{,}4\)                   \(x=-3{,}8\)

Ответ: \(x\in (-\infty; -3,8) \cup (1,4; +\infty)\).

в) \(\dfrac{2x}{x-1{,}6}>0\)

\(2x(x-1{,}6)>0\)  \(/ : 2\)

\(x(x-1{,}6)>0\) 

\(x(x-1{,}6)=0\)

\(x=0\)   или   \(x-1{,}6 = 0\)

                       \(x = 1,6\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0) \cup (1,6; +\infty)\).

г) \(\dfrac{5x-1{,}5}{x-4}>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)>0\)

\((5x-1{,}5)(x-4)=0\)

\(5x - 1,5 = 0\)   или   \( x - 4 = 0\)

\(5x = 1,5\)                   \(x = 4\)

\(x = \frac{1,5}{5}\)

\(x = 0,3\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,3) \cup (4; +\infty)\).

д) \(\dfrac{5x+1}{x-2}>0\)

\((5x+1)(x-2)>0\)

\((5x+1)(x-2)=0\)

\(5x+1=0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(5x = - 1\)                \(x = 2\)

\(x=-\dfrac15\)

\(x=-0{,}2\)

Ответ: \(x\in (-\infty; 0,2) \cup (2; +\infty)\).

е) \(\dfrac{3x}{2x+9}<0\)

\(3x(2x+9)<0\)   \(/ : 3\)

\(x(2x+9)<0\) 

\(x(2x+9)=0\)

\(x = 0\)   или   \(2x + 9 = 0\)

                       \(2x = -9\)

                       \(x = -\frac92\)

                       \(x = -4,5\)

Ответ: \(x \in (-4,5; 0)\).

Пояснения:

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Также помним свойство неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.