Упражнение 290 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

а) \(5(x - 13)(x + 24) < 0\)   \(/ : 5\)

\((x - 13)(x + 24) < 0\) 

\((x - 13)(x + 24) = 0\) 

\(x - 13 = 0\)   или   \(x + 24 = 0\)

\(x = 13\)                   \(x = -24\)

Ответ: \(x \in (-24; 13) \).

б) \(-\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \ge 0\) \(/\times (-1)\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) \le 0\)

\(\left(x + \dfrac{1}{7}\right)\left(x + \dfrac{1}{3}\right) = 0\)

\(x + \dfrac{1}{7} = 0\)   или   \(x + \dfrac{1}{3} = 0\)

\(x =-\dfrac{1}{7}\)                \(x=-\dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-\dfrac{1}{3}; -\dfrac{1}{7}\right] \).

в) \((x + 12)(3 - x) > 0\)

\((x + 12)(3 - x) = 0\)

\(x + 12 = 0\)   или   \(3 - x = 0\)

\(x = -12\)                \(x = 3\)

Ответ: \(x \in (-12; 3) \).

г) \((6 + x)(3x - 1) \le 0\)

\((6 + x)(3x - 1) = 0\)

\(6 + x = 0\)   или   \(3x - 1 = 0\)

\(x = -6\)                \(3x = 1\)

                              \(x = \dfrac{1}{3}\)

Ответ: \(x \in \left[-6; -\dfrac{1}{3}\right] \).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.