Упражнение 287 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

а) \((x - 2)(x - 5)(x - 12) > 0\)

\((x - 2)(x - 5)(x - 12) = 0\)

или  \(x-2=0\)

       \(x = 2\)

или  \(x - 5 = 0\)

        \(x = 5\)

или  \(x-12 =0\) 

        \(x=12\)

Ответ: \(x \in (2; 5) \cup (12; +\infty)\).

б) \((x + 7)(x + 1)(x - 4) < 0\)

\((x + 7)(x + 1)(x - 4) = 0\)

или  \(x+7=0\)

        \(x = -7\) 

или  \(x + 1=0\)

        \(x=-1\) 

или  \(x - 4 = 0\)

        \(x=4\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -7) \cup (-1; 4)\).

в) \(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) > 0\)

\(x(x + 1)(x + 5)(x - 8) = 0\)

или  \(x = 0\)

или  \(x + 1 = 0\)

        \(x = -1\)

или  \(x + 5 = 0\)

        \(x = -5\)

или  \(x - 8 = 0\)

        \(x = 8\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -5) \cup (-1; 0) \cup (8; +\infty)\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.