Упражнение 291 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

а) \(2(x - 18)(x - 19) > 0\)   \(/ : 2\)

\((x - 18)(x - 19) > 0\)

\((x - 18)(x - 19) = 0\)

\(x - 18 = 0\)  или  \(x - 19 = 0\)

\(x = 18\)                 \( x = 19\).

Ответ: \(x \in (-\infty; 18) \cup (19; +\infty)\).

б) \(-4(x + 0{,}9)(x - 3{,}2) < 0\) \(/ :(-4)\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) > 0\)

\((x + 0{,}9)(x - 3{,}2) = 0\)

\(x + 0,9 = 0\)   или   \(x - 3,2 = 0\)

\(x = -0,9\)                \(x = 3,2\)

Ответ: \(x \in (-\infty; -0,9) \cup (3,2; +\infty)\).

в) \((7x + 21)(x - 8{,}5) \le 0\)

\((7x + 21)(x - 8{,}5) = 0\)

\(7x + 21 = 0\)   или   \(x - 8,5 = 0\)

\(7x = -21\)                \(x = 8,5\)

\(x = -\frac{21}{7}\)

\(x=-3\)

Ответ: \(x \in [-3; 8{,}5]\).

г) \((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\((8 - x)(x - 0{,}3) \ge 0\)

\(8 - x = 0\)   или   \(x - 0,3 = 0\)

\(x = 8\)                 \(x = 0,3\)     

Ответ: \(x \in [0{,}3; 8]\).

Пояснения:

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней; если «≥0» — интервалы со знаком "+" и включаем корни; если «≤0» — интервалы со знаком "–" и включаем корни.

Также помним свойства неравенств:

если \(a < b\) и \(c\) - положительное число, то \(ac < bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Если \(a < b\) и \(c\) - отрицательное число, то \(ac > bc\), то есть если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и изменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.