Упражнение 292 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 97

а) \(y = \sqrt{(5 - x)(x + 8)}\)

\((5 - x)(x + 8) \ge 0\)

\((5 - x)(x + 8) = 0\)

\(5 - x = 0 \)   или   \(x + 8 = 0\)

\(x = 5\)                   \( x = -8\)

Ответ: \(x \in [-8; 5]\).

б) \(y = \sqrt{(x + 12)(x - 1)(x - 9)}\).

\((x + 12)(x - 1)(x - 9) \ge 0\)

\((x + 12)(x - 1)(x - 9) = 0\)

или  \(x + 12 = 0\)

        \(x = -12\)

или  \(x - 1 = 0\)

        \(x = 1\)

или  \(x - 9 = 0\)

        \(x = 9\)

Ответ: \(x \in [-12; 1] \cup [9; +\infty)\).

Пояснения:

Подкоренное выражение \(\sqrt{A(x)}\) определено тогда и только тогда, когда \(A(x) \ge 0\).

При решении неравенств используем метод интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «≥0» — берем интервалы со знаком "+" и включаем корни.

Если знак неравенства нестрогий (\(\geq\)  или \(\leq\)), то точку на координатной прямой делаем закрашенной, а при записи промежутка используем квадратную скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.