Упражнение 297 - ГДЗ Алгебра 9 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 98

а) \(\dfrac{x-8}{x+4} > 2\)

\( \dfrac{x-8}{x+4} - 2^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{x-8-2x-8}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{-x-16}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (-x-16)(x+4) > 0, \\ x \ne -4 \end{cases}\)

\((-x-16)(x+4) > 0\)

\((-x-16)(x+4) = 0\)

\(-x - 16 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-x=16\)                   \(x=-4\)

\(x = -16\)

Ответ: \(x \in (-16; -4)\).

б) \(\dfrac{3-x}{x-2} < 1 \)

\(\dfrac{3-x}{x-2}-1 ^{\color{blue}{\backslash x-2}} < 0\)

\(\dfrac{3-x-(x-2)}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{3-x-x+2}{x-2} < 0 \)

\(\dfrac{5-2x}{x-2} < 0\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x - 2 \ne 0 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (5-2x)(x-2) < 0, \\ x \ne 2 \end{cases}\)

\((5-2x)(x-2) < 0\)

\((5-2x)(x-2) = 0\)

\(5 - 2x = 0\)   или   \(x - 2 = 0\)

\(2x = 5\)                   \(x = 2\)

\(x = \frac52\)

\(x= 2,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 2) \cup (2,5;+\infty)\).

в) \(\dfrac{7x-1}{x} > 5 \)

\(\dfrac{7x-1}{x} - 5 ^{\color{blue}{\backslash x}} > 0 \)

\(\dfrac{7x-1-5x}{x} > 0\)

\(\dfrac{2x-1}{x} > 0\)

\(\begin{cases} (2x-1)x > 0, \\ x \ne 0 \end{cases}\)

\((2x-1)x > 0\)

\((2x-1)x = 0\)

\(2x - 1 = 0\)   или   \(x = 0\)

\(2x = 1\)

\(x = \frac12\)

\(x = 0,5\)

Ответ: \(x\in(-\infty; 0) \cup (0,5;+\infty)\).

г) \(\dfrac{6-2x}{x+4} > 3 \)

\(\dfrac{6-2x}{x+4} - 3 ^{\color{blue}{\backslash x+4}} > 0 \)

\(\dfrac{6-2x-3(x+4)}{x+4} > 0\)

\(\dfrac{6-2x-3x-12}{x+4} > 0 \)

\(\dfrac{-5x-6}{x+4} > 0\)

\(\begin{cases} (-5x-6)(x+4) > 0, \\ x + 4 \ne 0 \end{cases}\)

\((-5x-6)(x+4) > 0\)

\((-5x-6)(x+4) = 0\)

\(-5x - 6 = 0\)   или   \(x + 4 = 0\)

\(-5x = 6\)                   \(x = -4\)

\(x = \frac{6}{-5}\)

\(x = -1,2\)

Ответ: \(x \in (-4; -1,2)\).

Пояснения:

Во всех пунктах сначала переносим число из правой части в левую и приводим к общему знаменателю выражение в левой части.

При всех значениях \(x\), при которых дробь \(\frac{x - a}{x-b}\) имеет смысл, знак этой дроби совпадает со знаком произведения \((x - a)(x-b)\), поэтому неравенства \(\frac{x - a}{x-b} < 0\) и \(\frac{x - a}{x-b} > 0\) равносильны неравенствам \((x - a)(x-b) < 0\) и \((x - a)(x-b) > 0\) соответственно, которые решаем методом интервалов.

Метод интервалов применяется к произведению вида \((x-a)(x-b)\dots\).

Находим нули каждого множителя — это точки, в которых знак выражения меняется.

Отмечаем точки на числовой прямой и определяем знак выражения на каждом интервале. Достаточно определить знак на одном интервале, а на остальных расставить знаки так, чтобы они чередовались. Чтобы определить знак на одном из интервалов, нужно взять какое-нибудь значение из рассматриваемого интервала и определить знак функции при этом значении.

Если знак требуется «>0» — берём интервалы со знаком "+", без корней; если «<0» — интервалы со знаком "–", без корней.

Если знак неравенства строгий (\(>\)  или \(<\)), то точку на координатной прямой делаем "выколотой" (незакрашенной), при записи промежутка используем круглую скобку.

У \(+\infty\) и \(-\infty\) при записи промежутка скобка всегда круглая.