Вернуться к содержанию учебника
№991 учебника 2014-2022 (стр. 235):
В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?
№991 учебника 2014-2022 (стр. 235):
№991 учебника 2014-2022 (стр. 235):
\(a_3=150; a_{13}=110\)
\(-\)\( \begin{cases} a_1 + 2d=150 \\ a_1 + 12d=110 \end{cases} \)
\( \begin{cases}-10d=40 \\ a_1 + 12d=110 \end{cases} \)
\( \begin{cases}d=40:(-10) \\ a_1 =110-12d \end{cases} \)
\( \begin{cases}d=-4 \\ a_1 =110-12\cdot(-4) \end{cases} \)
\( \begin{cases}d=-4 \\ a_1 =158 \end{cases} \)
\(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n\)
\(0= \dfrac{2\cdot158 + (n - 1)(-4)}{2}n\) \(|\times2\)
\(0= (316 -4 (n - 1))n\)
\(316 - 4(n - 1) = 0\) или \(n=0\notin N\)
\(316 - 4n + 4 = 0\)
\(320 - 4n = 0\)
\(4n = 320\)
\(n = 80.\)
Ответ: \( 80.\)
Пояснения:
Основные формулы арифметической прогрессии:
1. Формула n-го члена:
\(a_n = a_1 + (n - 1)d\)
2. Формула суммы первых n членов:
\(S_n = \dfrac{2a_1 + (n - 1)d}{2}n\)
Сначала выразили третий и тринадцатый члены через первый член и разность. Вычитая уравнения, нашли разность прогрессии.
Подставив найденное значение \(d\) во второе уравнение, определили первый член прогрессии.
Так как сумма равна нулю, произведение равно нулю.
Решив полученное линейное уравнение, нашли количество членов:
\(n = 80.\)
Вернуться к содержанию учебника