Задание 459 - ГДЗ Геометрия 7-9 класс. Атанасян. Учебник

Дано: МОК - острый, А - его внутренняя точка.

Построить: точки В и С на сторонах МОК такие, что Р_АВС будет наименьшим.

Решение:

Докажем, что Р_АВС - наименьший.

1. По построению точки А и А₁ симметричны относительно ОМ, ОМ - серединный перпендикуляр к отрезку АА₁, АВ = А₁В. Аналогично, АС = А₁С.

2. Р_АВС = АВ + ВС + АС и

А₁А₂ = А₁В + ВС + А₂С, при этом

АВ = А₁В и АС = А₁С, Р_АВС = А₁А₂, Р_АВС - наименьший. Что и требовалось доказать.

Пояснения:

Чертим острый угол МОК и точку А внутри его.

Теперь построим точки А₁ и А₂ симметричные точке А относительно сторон данного угла ОМ и ОК соответственно.

Сначала строим точку А₁, симметричную точке А относительно ОМ:

1) чертим окружность с центром А произвольного радиуса так, чтобы она пересекла прямую ОМ в двух точках, обозначим их Е и Р;

2) чертим две окружности с центрами в точках Е и Р радиуса ЕА = РА, эти окружности пересекутся в двух точках одна из них точка А, а другая, симметричная ей относительно прямой ОМ, точка А₁.

3) соединяем точки А и А₁.

Аналогично строим точку А₂, симметричную точке А относительно ОК.

Далее соединяем точки А₁ и А₂, отрезок А₁А₂ пересечет стороны угла в точках В и С. Соединяем точки А, В и С, получаем АВС.

Докажем, что Р_АВС будет наименьшим.

По построению точки А и А₁ симметричны относительно ОМ, значит, ОМ - серединный перпендикуляр к отрезку АА₁. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, значит, АВ = А₁В. Аналогично, АС = А₁С.

Получается:

Р_АВС = АВ + ВС + АС и

А₁А₂ = А₁В + ВС + А₂С, при этом

АВ = А₁В и АС = А₁С, значит, Р_АВС = А₁А₂.

Кратчайшее расстояние между двумя точками - это длина отрезка соединяющего это точки. следовательно, Р_АВС - наименьший. Что и требовалось доказать.