Упражнение 703 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

Решение:

а) \((3b - 2)(5 - 2b) + 6b^2 =\)

\(=15b -6b^2 -10 +4b +6b^2 =\)

\(=19b -10\);

б) \((7y - 4)(2y + 3) - 13y = \)

\(=14y^2 +21y -8y -12 -13y = \)

\(=14y^2 -12\);

в) \(x^3 - (x^2 - 3x)(x + 3)=\)

\(=x^3 - (x^3 +3x^2 -3x^2 -9x) = \)

\(=x^3 - x^3 -3x^2 +3x^2 +9x =9x\);

г) \(5b^3 + (a^2 + 5b)(ab - b^2) =\)

\(=5b^3 + a^3b - a^2b^2 +5ab^2 -5b^3 =\)

\(=a^3b - a^2b^2 +5ab^2\);

д) \((a - b)(a + 2) - (a + b)(a - 2) =\)

\(=(a^2 + 2a - ab - 2b) - (a^2 - 2a + ab - 2b)=\)

\(= a^2 + 2a - ab - 2b - a^2 + 2a - ab + 2b =\)

\(= 4a - 2ab\);

е) \((x + y)(x - y) - (x - 1)(x - 2)=\)

\(=x^2 -xy +xy -y^2 - (x^2 -2x -x +2) =\)

\(=x^2 -y^2 -x^2 +3x -2 =\)

\(=-y^2+3x -2\).

Пояснения:

Использованные правила:

1) Распределительное свойство умножения (раскрытие скобок):

\(x(y+z)=xy+xz\).

2) Правило раскрытия произведения двух скобок:

\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.\]

3) Приведение подобных членов:

\(k_1X + k_2X = (k_1 + k_2)X.\)

4) Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

К пункту а): применили распределительный закон к \((3b-2)(5-2b)\), затем объединили подобные члены \(-6b^2\) и \(+6b^2\).

К пункту б): раскрыли скобки, сложили подобные члены по \(y^2\) и \(y\), заметив, что сумма коэффициентов при \(y\) равна нулю.

К пункту в): раскрыли скобки в \((x^2-3x)(x+3)\), получили \(x^3-9x\), вычли из \(x^3\), что дало \(9x\).

К пункту г): раскрыли скобки в \((a^2+5b)(ab-b^2)\), сократили \(5b^3 -5b^3\), затем вынесли общий множитель \(ab\).

К пункту д): при раскрытии вторых скобок меняются знаки, после чего \(a^2\)-члены и \(b\)-члены взаимно уничтожаются.

К пункту е): раскрыли обе пары скобок через поэлементное умножение и объединили подобные.

Пусть сторона квадрата равна \(x\) см. Тогда стороны прямоугольника равны \(x+3\) см и \(x-2\) см. Площадь квадрата: \(x^2\). Площадь прямоугольника: \((x+3)(x-2)\). Известно, что площадь квадрата на 30 см² меньше площади прямоугольника.

Составим уравнение:

\( (x+3)(x-2) - x^2 = 30 \)

\( x^2 -2x + 3x - 6 - x^2 = 30 \)

\(x - 6 = 30 \)

\(x = 30 + 6 \)

\(x = 36 \)

Ответ: сторона квадрата равна 36 см.

Пояснения:

Использованные правила:

1. Раскрытие произведения скобок:

\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\).

2. Приведение подобных членов:

\(ax^2 + bx + cx^2 = (a+c)x^2 + bx\).

3. Перенос членов через знак «=»: если

\(A + C= B + D\), то

\(A - D = B - C\).

Пояснения по шагам:

Сначала обозначаем сторону квадрата за \(x\) см. Учитывая то, что сторона квадрата на 3 см меньше одной из сторон прямоугольника и на 2 см больше другой его стороны, выразили стороны прямоугольника как \(x+3\) см и \(x-2\) см. Учитывая то, что площадь квадрата равна квадрату его стороны, а площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины, составили выражения для площади квадрата \(x^2\) и площади прямоугольника \((x+3)(x-2)\). По условию, известно, что площадь квадрата на 30 см² меньше площади прямоугольника. Следовательно, можно составить уравнение:

\( (x+3)(x-2) - x^2 = 30 \).

В полученном уравнении сначала раскрыли скобки по правилу произведения двух скобок:

\( x^2 -2x + 3x - 6 - x^2 = 30 \).

Затем в левой части уравнения сократили противоположные члены и привели подобные:

\(x - 6 = 30 \).

Далее слагаемое -6 перенесли из левой части уравнения в правую и получили:

\(x = 30 + 6 \),

\(x = 36 \).

Значит, сторона квадрата равна 36 см.