Упражнение 728 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \(mn - mk + xk - xn =\)

\(=(mn - mk) + (xk - xn)\)

\(= m(n - k) + x(k - n)=\)

\(= m(n - k) - x(n - k)=\)

\(= (n - k)(m - x)\).

б) \(x^2 + 7x - ax - 7a =\)

\(=(x^2 + 7x) - (ax + 7a)=\)

\( = x(x + 7) - a(x + 7)=\)

\(= (x + 7(x - a))\).

в) \(3m - mk + 3k - k^2 =\)

\(=(3m + 3k) - (mk + k^2)=\)

\( = 3(m + k) - k(m + k)=\)

\(= (m + k)(3 - k)\).

г) \(xk - xy - x^2 + yk =\)

\(=(xk - x^2) + (yk - xy)\)

\( = x(k - x) + y(k - x)=\)

\(= (k - x)(x + y)\).

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X\);

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X.\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

Пояснения к пунктам:

В каждом случае сначала разделили многочлен на две группы по два слагаемых так, чтобы в каждой группе появился общий множитель; затем вынесли его за скобку и записали результат в виде произведения двух двучленов.

\(a=3k+1\) и \(b=3p+2\),

где \(p\) и \(k\) - целые числа.

\((ab+1) = (3k+1)(3p+2) + 1=\)

\(=9kp + 6k + 3p + 2 + 1 =\)

\(=9kp + 6k + 3p + 3=\)

\(=3(3kp + 2k + p + 1)\) - делится на 3.

Пояснения:

1. Деление с остатком: любое целое \(a\) при делении на 3 может давать остаток 1 или 2 (по условию остатки не равны нулю), если число \(a\) при делении на 3 дает остаток 1, то \(a=3k+1\), где \(k\) - целое число, если число \(a\) при делении на 3 дает остаток 2, то \(b=3p+2\), где \(p\) - целое число.

2. По правилу умножения многочлена на многочлен:

\((ab+1) = (3k+1)(3p+2) + 1=\)

\(=9kp + 6k + 3p + 3=\)

\(=3(3kp + 2k + p + 1)\)

3. Свойства делимости: в полученном произведении один из множителей делится на 3, при этом сумма

\(3kp + 2k + p + 1\) - целое число, так как \(k\) и \(p\) - целые числа, значит, \(ab+1\) - делится на 3. Что и требовалось доказать.