Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№727 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Разложите на множители многочлен:
а) \(x^3 + x^2 + x + 1\);
б) \(y^5 - y^3 - y^2 + 1\);
в) \(a^4 + 2a^3 - a - 2\);
г) \(b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6\);
д) \(a^2 - ab - 8a + 8b\);
е) \(ab - 3b + b^2 - 3a\);
ж) \(11x - xy + 11y - x^2\);
з) \(kn - mn - n^2 + mk\).
№727 учебника 2013-2022 (стр. 155):
При делении натурального числа \(a\) на натуральное число \(b\) в частном получили \(c\) и в остатке \(d\). Могут ли все числа \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) быть нечётными?
№727 учебника 2023-2025 (стр. 153):
Вспомните:
№727 учебника 2013-2022 (стр. 155):
Вспомните:
№727 учебника 2023-2025 (стр. 153):
а) \(x^3 + x^2 + x + 1 =\)
\(=(x^3 + x^2) + (x + 1) =\)
\(=x^2(x+1) + 1\cdot(x+1) =\)
\(=(x+1)(x^2 + 1)\).
б) \(y^5 - y^3 - y^2 + 1 =\)
\(=(y^5 - y^3) - (y^2 - 1) =\)
\(=y^3(y^2-1) - 1\cdot(y^2-1) =\)
\(=(y^2 - 1)(y^3 - 1)\).
в) \(a^4 + 2a^3 - a - 2 =\)
\(=(a^4 + 2a^3) - (a + 2) =\)
\(=a^3(a+2) - 1\cdot(a+2) =\)
\(=(a+2)(a^3 - 1)\).
г) \(b^6 - 3b^4 - 2b^2 + 6 =\)
\(=(b^6 - 3b^4) - (2b^2 - 6) =\)
\(=b^4(b^2 - 3) - 2(b^2 - 3) =\)
\(=(b^2 - 3)(b^4 - 2)\).
д) \(a^2 - ab - 8a + 8b =\)
\(=(a^2 - ab) - (8a - 8b) =\)
\(=a(a - b) - 8(a - b) =\)
\(=(a - b)(a - 8)\).
е) \(ab - 3b + b^2 - 3a =\)
\(=(ab - 3a) + (b^2 - 3b) =\)
\(=a(b - 3) + b(b - 3) =\)
\(=(b - 3)(a + b)\).
ж) \(11x - xy + 11y - x^2 =\)
\(=(11x + 11y) - ( x^2 + xy) =\)
\(=11(x + y) - x(x + y) =\)
\(=(x + y)(11 - x)\).
з) \(kn - mn - n^2 + mk =\)
\(=(kn - n^2) + (mk - mn) =\)
\(=n(k - n) + m(k - n) = \)
\(=(k - n)(n + m)\).
Пояснения:
Использованные правила:
1. Группировка однотипных слагаемых.
2. Вынесение общего множителя за скобку:
\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)
\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)
\(X - C\cdot X = (1-C)\,X\).
Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.
3. Перестановка слагаемых не меняет результат:
\(A + B = B + A\).
4. Умножение степеней:
\(а^n + a^m=a^{m+n}\).
Пояснения к пунктам:
– В пунктах а)–д) сгруппировали первые два и последние два слагаемых, выделили общий множитель и записали сумму как произведение коэффициентов на этот множитель.
– В пункте е) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((a+b)\).
– В пункте ж) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((x+y)\).
– В пункте з) предварительно переставили слагаемые, чтобы появились группы с общим множителем \((k-n)\).
№727 учебника 2013-2022 (стр. 155):
\( a = b\,c + d, \quad 0 \le d < b\)
\(a,b,c,d\) - натуральные числа.
Пусть \(a,b,c,d\) - нечетные числа, тогда \(bc\) - нечетное число, а \(b\,c + d\) - четное число, значит, \(a\) - четное число, то есть все числа не могут быть нечетными.
Пояснения:
1. Деление с остатком. Любое натуральное \(a\) при делении на натуральное \(b\) представимо как
\(a=b\,c+d\).
2. Свойства нечётных чисел.
— Произведение двух нечётных чисел нечётно.
— Сумма двух нечётных чисел чётна.
3. Применение к задаче. Если \(b\) и \(c\) нечётны, то произведение \(b\,c\) нечётно. Добавляя нечётный остаток \(d\), получаем \(a=b\,c+d\) — чётное, а не нечётное. Противоречие условию, значит, все четыре нечётности одновременно невозможны.
Вернуться к содержанию учебника