Упражнение 730 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

а) \( 2a + a c^2 - a^2 c - 2c =\)

\(=(2a - 2c) + (a c^2 - a^2 c) =\)

\(=2(a - c) + ac(c - a) =\)

\(=(a - c)\,(2 - ac). \)

Если \(a=1\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\), \(c=-1\tfrac{2}{3}=-\tfrac{5}{3}\), то

\( \bigl(\tfrac{4}{3} - (-\tfrac{5}{3})\bigr)\,\Bigl(2 - \tfrac{4}{3}\cdot(-\tfrac{5}{3})\Bigr) = \)

\(=\tfrac{9}{3}\cdot\Bigl(2^{\color{blue}{\backslash9}} + \tfrac{20}{9}\Bigr) = \)

\(3\cdot\Bigl(\tfrac{18}{9} + \tfrac{20}{9}\Bigr) =\)

\(=\cancel3\cdot\tfrac{38}{\cancel9_{3}} = \tfrac{38}{3}=12\tfrac{2}{3}. \)

б) \( x^2y - y + xy^2 - x =\)

\(=(x^2y + xy^2) - (y + x) =\)

\(=xy(x + y) - 1\cdot(x + y) =\)

\(=(x + y)\,(xy - 1). \)

Если \(x=4\), \(y=0,25=\tfrac{1}{4}\), то

\( \bigl(4 + \tfrac{1}{4}\bigr)\,\bigl(4\cdot\tfrac{1}{4} - 1\bigr) =\)

\(=4\tfrac{1}{4}\cdot(1 - 1) = 4\tfrac{1}{4}\cdot 0 = 0. \)

Пояснения:

Использованные правила:

1. Группировка однотипных слагаемых.

2. Вынесение общего множителя за скобку:

\(A\cdot X + B\cdot X = (A+B)\,X,\)

\(A\cdot X - B\cdot X = (A-B)\,X,\)

Обращаем внимание на то, что при вынесении отрицательного множителя за скобки, знаки слагаемых, оставшихся в скобках, меняем на противоположные.

3. Перестановка слагаемых не меняет результат:

\(A + B = B + A\).

4. Умножение степеней:

\(а^n + a^m=a^{m+n}\).

Пояснение к пункту а):

Сгруппировали члены парами, вынесли общий множитель в каждом и получили общий множитель \((a - c)\) и второй множитель \((2 - ac)\). Затем перевели смешанные числа в дроби: \(a=1\tfrac{1}{3}=\tfrac{4}{3}\), \(c=-1\tfrac{2}{3}=-\tfrac{5}{3}\). Подставили в оба множителя, вычислили сумму и произведение дробей, получили \(12\tfrac{2}{3}\).

Пояснение к пункту б):

Сгруппировали первые два и последние два члена, вынесли \(xy\) и \(1\) соответственно, получили общий множитель \((x+y)\) и множитель \((xy-1)\). Подставили \(x=4\), \(y=0,25=\tfrac{1}{4}\), вычислили \(xy=1\) и получили нулевое значение второго множителя, что даёт итоговый результат 0.

\( a = 12k + 5=\)

\(=4\cdot3k + 4\cdot1 + 1 = \)

\(=4\bigl(3k + 1\bigr) + 1. \)

\(3k+1\) - частное,

\(1\) - остаток.

Ответ: остаток равен \(1\).

Пояснения:

1. Представление числа. По определению деления с остатком:

\(a=12k+5\).

2. Выделение множителей 4.

Любое число \(n\) можно представить как \(n=4m+r\), где \(0\le r<4\). Здесь показали, что \(12k\) делится на 4 без остатка, а 5 даёт при делении на 4 частное 1 и остаток 1.

3. Итог. Сумма двух частей \(4\cdot3k\) и \((4\cdot1+1)\) даёт в общей сложности \(4(3k+1)+1\), то есть остаток при делении на 4 равен 1.