Упражнение 847 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 171

\( a^3 + a^2 + 2a + 2 =\)

\(=(a^3 + a^2) + (2a + 2)=\)

\(= a^2(a + 1) + 2(a + 1)= \)

\( =(a^2 + 2)\,(a + 1). \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

— Группировка: разделили многочлен на два двучлена с общим множителем.

— Формула вынесения общего множителя:

\(ab + cb = (a + c)\,b\).

В результате получили окончательный ответ:

\((a + 1)(a^2 + 2)\).

\(x^2 + 6x + 10 = x^2 + 6x + 9 + 1 =\)

\(=(x^2 + 2\cdot{x}\cdot3 + 3^2) + 1=\)

\((x + 3)^2 + 1 > 0\) при любом \(x\).

Пояснения:

Использованная формула:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений.

1. Учитывая то, что \(10 = 9 + 1\), в рассматриваемом выражении можем выделить квадрат двучлена, получим:

\( x^2 + 6x + 10 = (x + 3)^2 + 1. \)

2. Известно, что квадрат любого числа неотрицателен, значит, \((x + 3)^2 \ge 0\).

3. Прибавляя к неотрицательному числу единицу, получаем число строго больше нуля:

\((x + 3)^2 + 1 \ge 1 > 0\).

Следовательно, \(x^2 + 6x + 10\) положителен для всех \(x\).