Упражнение 851 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник. Страница 172

а) \(81a^2 - 18ab + b^2 = \)

\(=(9a)^2 - 2\cdot{9a}\cdot{b} + b^2 = \)

\(=(9a - b)^2\).

б) \(1 + y^2 - 2y =\)

\(=y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2\).

в) \(8ab + b^2 + 16a^2 = \)

\(=16a^2 + 8ab + b^2 =\)

\(=(4a)^2 + 2\cdot{4a}\cdot{b} + b^2 =\)

\(=(4a + b)^2\).

г) \(100x^2 + y^2 + 20xy =\)

\(=100x^2 + 20xy + y^2 = \)

\(=(10x)^2 + 2\cdot10x\cdot{y} + y^2 = \)

\(=(10x + y)^2\).

д) \(b^2 + 4a^2 - 4ab =\)

\(=4a^2 - 4ab + b^2 =\)

\(=(2a)^2 - 2\cdot{2a}\cdot{b} + b^2 =\)

\(=(2a - b)^2\).

е) \(28xy + 49x^2 + 4y^2 =\)

\(=49x^2 + 28xy + 4y^2 =\)

\(=(7x)^2 + 2\cdot{7x}\cdot{2y} + (2y)^2 =\)

\(=(7x + 2y)^2\).

Пояснения:

Использованные формулы:

1) \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) - квадрат суммы двух выражений,

2) \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) - квадрат разности двух выражений.

Только формулы использовали в обратную сторону, при этом учитывали свойство степени:

\((a\cdot{b})^n = a^nb^n.\)

а) \( (x^2 + 4xy - y^2)(2y - x) =\)

\(= 2x^2y - x^3 + 8xy^2 - 4x^2y - 2y^3 + xy^2 =\)

\(= -x^3 - 2x^2y + 9xy^2 - 2y^3. \)

б) \( (3 - a)(a^3 - 4a^2 - 5a) = \)

\(= 3a^3 - 12a^2 - 15a - a^4 + 4a^3 + 5a^2=\)

\(= -a^4 + 7a^3 - 7a^2 - 15a. \)

в) \( (a^2 - 4ab + b^2)(2a - b) =\)

\(= 2a^3 - a^2b - 8a^2b + 4ab^2 + 2ab^2 - b^3 =\)

\(= 2a^3 - 9a^2b + 6ab^2 - b^3. \)

г) \( (x - p)(x^2 + px + p^2) =\)

\(= x^3 + \cancel{p x^2} + \cancel{p^2 x} - \cancel{p x^2} - \cancel{p^2 x} - p^3 =\)

\(= x^3 - p^3. \)

Пояснения:

Использованные приёмы и формулы:

1) Умножение многочлена на многочлен: каждый член одного многочлена умножаем на каждый член второго многочлена, при этом учитываем свойство степени:

\(a^m\cdot{a^n} = a^{m+n}.\)

2) Приведение подобных членов: сумма одночленов с одинаковой буквенной частью сводится к произведению суммы коэффициентов на эту буквенную часть:

\(ax+bx=(a+b)x\).

3) Сумма противоположных членов равна нулю, поэтому в решении их вычеркиваем.

Пояснение к пункту а):

Сначала каждое слагаемое из первого множителя умножили на каждый множитель второго: \(x^2\), \(4xy\), \(-y^2\) на \(2y\) и на \(-x\). Затем сложили полученные одночлены и привели подобные:

\(2x^2y - 4x^2y = -2x^2y\),

\(8xy^2 + xy^2 = 9xy^2\).

Пояснение к пункту б):

Умножили каждый член \(3\) и \(-a\) на многочлен \(a^3 - 4a^2 -5a\). Затем привели подобные:

\(3a^3 + 4a^3 = 7a^3\),

\(-12a^2 +5a^2 = -7a^2\).

Пояснение к пункту в):

Аналогично пункту а), только здесь первый множитель даёт три одночлена \(a^2\), \(-4ab\), \(b^2\), каждый из которых умножается на \(2a\) и на \(-b\). После привели подобные:

\(-a^2b -8a^2b = -9a^2b\),

\(4ab^2 +2ab^2 = 6ab^2\).

Пояснение к пункту г):

Раскрытие показывает полное сокращение средних членов: \(px^2 - px^2 = 0\), \(p^2x - p^2x = 0\). Остаётся \(x^3 - p^3\).