Вернуться к содержанию учебника
Выберите год учебника
№982 учебника 2023-2025 (стр. 195):
Докажите тождество:
\( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \)
№982 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Разложите на множители:
а) \((x - 5)^2 - 16;\)
б) \((b + 7)^2 - 9;\)
в) \(25 - (3 - x)^2;\)
г) \(81 - (a + 7)^2;\)
д) \((7x - 4)^2 - (2x + 1)^2;\)
е) \((n - 2)^2 - (3n + 1)^2;\)
ж) \(9(a + 1)^2 - 1;\)
з) \(4 - 25(x - 3)^2.\)
№982 учебника 2023-2025 (стр. 195):
Вспомните:
№982 учебника 2013-2022 (стр. 195):
Вспомните:
№982 учебника 2023-2025 (стр. 195):
\( (a + b + c)^2 = \bigl((a + b) + c\bigr)^2 =\)
\(=(a + b)^2 + 2\,(a + b)\,c + c^2= \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2=\)
\(= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc. \)
Тождество доказано.
Пояснения:
1) Формула квадрата суммы двух слагаемых:
\( (u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2. \)
Мы применили её сначала к
\(\,(a + b) + c\), где \(u = (a + b)\), \(v = c\).
2) Формула квадрата двучлена:
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. \)
Использована при раскрытии
\((a + b)^2\).
3) Раскрытие произведения:
\( 2\,(a + b)\,c = 2a\,c + 2b\,c. \)
Здесь просто умножили каждое слагаемое \((a + b)\) на \(c\) и потом на 2.
4) Перегруппировка:
После раскрытия скобок все полученные слагаемые \(a^2,\,b^2,\,c^2,\,2ab,\,2ac,\,2bc\) были собраны вместе в нужном порядке.
№982 учебника 2013-2022 (стр. 195):
а) \( (x - 5)^2 - 16 =(x - 5)^2 - 4^2 = \)
\(=\bigl((x - 5) - 4\bigr)\bigl((x - 5) + 4\bigr) =\)
\(=\bigl(x - 5 - 4\bigr)\bigl(x - 5 + 4\bigr) =\)
\(=(x - 9)(x - 1). \)
б) \( (b + 7)^2 - 9 = (b + 7)^2 - 3^2 = \)
\(=\bigl((b + 7) - 3\bigr)\bigl((b + 7) + 3\bigr) =\)
\(=\bigl(b + 7 - 3\bigr)\bigl(b + 7 + 3\bigr) =\)
\(=(b + 4)(b + 10). \)
в) \( 25 - (3 - x)^2 = 5^2 - (3 - x)^2 =\)
\(=\bigl(5 - (3 - x)\bigr)\bigl(5 + (3 - x)\bigr)= \)
\(=\bigl(5 - 3 + x\bigr)\bigl(5 + 3 - x\bigr)= \)
\( = (2 + x)(8 - x). \)
г) \( 81 - (a + 7)^2 = 9^2 - (a + 7)^2 =\)
\(= \bigl(9 - (a + 7)\bigr)\bigl(9 + (a + 7)\bigr)= \)
\(= \bigl(9 - a - 7\bigr)\bigl(9 + a + 7\bigr)= \)
\( = (2 - a)(a + 16). \)
д) \( (7x - 4)^2 - (2x + 1)^2 = \)
\(= ((7x - 4) - (2x + 1))((7x - 4) + (2x + 1)) =\)
\(= (7x - 4 - 2x - 1)(7x - 4 + 2x + 1) =\)
\(= (5x - 5)(9x - 3) =\)
\(=5(x - 1)\cdot3(3x - 1)= \)
\(=15(x - 1)(3x - 1).\)
е) \((n - 2)^2 - (3n + 1)^2 = \)
\(= ((n - 2) - (3n + 1))((n - 2) + (3n + 1))=\)
\(= (n - 2 - 3n - 1)(n - 2 + 3n + 1)=\)
\(= ( -2n - 3)(4n - 1) =\)
\(=-(2n + 3)(4n - 1). \)
ж) \( 9(a + 1)^2 - 1 =\)
\(=(3(a+1))^2 - 1^2=\)
\(=\bigl(3(a + 1) - 1\bigr)\bigl(3(a + 1) + 1\bigr)= \)
\(= (3a + 3 - 1)(3a + 3 + 1)=\)
\(=(3a + 2) (3a + 4). \)
з) \( 4 - 25(x - 3)^2 =\)
\(=2^2 - (5(x - 3))^2 =\)
\(= (2 - 5(x - 3)) (2 + 5(x - 3)) =\)
\(= (2 - 5x + 15) (2 + 5x - 15)=\)
\(= (17 - 5x) (5x - 13). \)
Пояснения:
Основные правила и приёмы, использованные при разложении на множители:
1. Формула разности квадратов:
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)
2. Свойства степени:
\(a^nb^n=(ab)^n\).
3. Раскрытие скобок: если перед скобками стоит знак минус, то при их раскрытии меняем знаки всех слагаемых из скобок на противоположные.
4. Приведение подобных слагаемых:
\(ax + bx = (a + b)x\).
5. Алгоритм разложения для каждого выражения:
— Шаг 1: Представить данное выражение в виде разности квадратов двух выражений.
— Шаг 2: Применить формулу разности квадратов двух выражений.
— Шаг 3: Упростить получившие множители (раскрыть скобки внутри, учитывая знаки, стоящие перед ними, привести подобные члены).
Вернуться к содержанию учебника