Упражнение 980 - ГДЗ Алгебра 7 класс. Макарычев, Миндюк. Учебник

\( 147 = 145 + 2 \)

\( 147^6 = (145 + 2)^6 =\)

\(= 145^6 + 6 \cdot145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 2^2 + 20 \cdot 145^3 \cdot 2^3 + 15 \cdot 145^2 \cdot 2^4 + 6 \cdot 145 \cdot 2^5 + 1 \cdot 1 \cdot 64 =\)

\(= (145^6 + 6 \cdot145^5 \cdot 2 + 15 \cdot 145^4 \cdot 4 + 20 \cdot 145^3 \cdot 8 + 15 \cdot 145^2 \cdot 16 + 6 \cdot 145 \cdot 32) + 64\) - остаток 64.

Ответ: остаток 64.

Пояснения:

При записи формулы двучлена

\(a + b\) в степени \(n\), первый член получаемого многочлена равен \(a^n\) и \(b^0\). Далее при переходе к каждому последующему члену показатель степени \(a\) уменьшается на 1, а показатель степени \(b\) увеличивается на 1, т.е. сумма показателей степеней в каждом слагаемом равна \(n\).

Для определения коэффициентов получаемого многочлена, используют треугольник Паскаля. В треугольнике Паскаля "боковые стороны" состоят из единиц, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, записанных над ним.

Строки треугольника Паскаля определяют коэффициенты многочлена в формуле для данной степени \(n\).

Значит, коэффициенты двучлена шестой степени равны:

1; 6; 15; 20; 15; 6; 1.

Тогда \(147^6 =(145 + 2)^6\) можно разложить по формуле с помощью треугольника Паскаля. Полученные слагаемые, начиная с первого до шестого, содержат хотя бы одну степень 145 (то есть множитель 145). Такие слагаемые при делении на 145 дают нулевой остаток. Остаток от деления суммы равен сумме остатков от деления каждого слагаемого. Так как первые шесть слагаемых делятся на 145 нацело, остаётся только слагаемое \(2^6 = 64\). Поскольку \(64 < 145\), при делении \(64\) на \(145\) остаток равен самому \(64\).

а) \(\;\displaystyle \frac{38^2 - 17^2}{72^2 - 16^2} =\)

\(=\frac{(38 - 17)(38 + 17)}{(72 - 16)(72 + 16) }=\)

\(=\frac{^3\cancel{21} \cdot \cancel{55}^{   5}}{_{8  }\cancel{56} \cdot \cancel{88}_8} = \frac{15}{64}.\)

б) \(\;\displaystyle \frac{39,5^2 - 3,5^2}{57,5^2 - 14,5^2} = \)

\(=\frac{(39,5 - 3,5)(39,5 + 3,5)}{(57,5 - 14,5)(57,5 + 14,5)} =\)

\(=\frac{^1\cancel{36} \cdot \cancel{43}^{  1}}{_{1  }\cancel{43} \cdot \cancel{72}_2} = \frac{1}{2}.\)

в) \(\frac{17,5^2 - 9,5^2}{131,5^2 - 3,5^2} =\)

\(=\frac{(17,5 - 9,5)(17,5 + 9,5)}{(131,5 - 3,5)(131,5 + 3,5)} =\)

\(=\frac{^1\cancel{8} \cdot \cancel{27}^{  1}}{_{16  }\cancel{128} \cdot \cancel{135}_5} = \frac{1}{80}.\)

Пояснения:

Использованные приемы и формулы:

1. Формула разности квадратов:

\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). \)

2. Для каждого выражения сначала вычисляем числитель и знаменатель по формуле разности квадратов.

3. После получения произведений числителя и знаменателя сокращаем дробь: